北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)42同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式(參考版)
2024-11-23 01:41本頁面
【正文】 c os θ )2＝ 1177。 c os θ ＝－34， ∴ ( sin θ － c os θ )2＝ 1 － 2sin θ c os θ ＝sin θ c os θ ＝ 1 －32， 即 sin θ ＝－1 － k2k. 誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用 在 △ ABC 中，若 sin(2π － A ) ＝－ 2 sin(π － B ) ， 3c os A ＝－ 2 c os(π － B ) ，求 △ ABC 的三個內(nèi)角． [ 思路分析 ] 先利用誘導(dǎo)公式化簡已知條件式，再利用平方關(guān)系式求得 c os A ，進(jìn)而可求得 A 、 B 、 C . [ 規(guī)范解答 ] 由已知得????? sin A ＝ 2 sin B ， ①3 c os A ＝ 2 c os B ， ② ①2＋ ②2得 2c os2A ＝ 1 ，即 c os A ＝ 177。 ＝－sin80176。 ? ＝ 1 － k2， 所以 tan 100176。 ＝ 1 － c os280176。 ) ＝ k ，那么 tan 100176。 ) ＝ c os60176。 － 60176。 ＝ ( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 [ 答案 ] C [ 解析 ] 該題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值． c os300176。 c os α 與 sin α c os α 的關(guān)系 已知－π2 x 0 ， sin x ＋ c os x ＝15. ( 1) 求 sin x － c os x 的值； ( 2) 求3sin2x2－ 2sinx2c osx2＋ c os2x2tan x ＋1tan x的值． [ 思路分析 ] ( 1) 可與 sin2x ＋ c os2x ＝ 1 聯(lián)立求出 sin x 和c os x ，再代入求值， ( 2) 中注意化簡的方向性和目的性：切化弦、擴(kuò) 角降冪，目的是化簡為關(guān)于 sin x 和 c os x 的代數(shù)式． [ 規(guī)范解答 ] ( 1) 解法 1 ：聯(lián)立方程： ????? sin x ＋ c os x ＝15， ①sin2x ＋ c os2x ＝ 1. ② 由 ① 得 sin x ＝15－ c os x ，將其代入 ② ，整理得 25c os2x － 5c os x － 12 ＝ 0. 因為－π2 x 0 ，所以????? sin x ＝－35，c os x ＝45. 所以 sin x － c os x ＝－75. 解法 2 ： ① sin x ＋ c os x ＝15 ?125＝ ( sin x ＋ c os x )2＝ 1 ＋ 2sin x c os x ? 2sin x c os x ＝－2425 ? ( sin x － c os x )2＝ 1 － 2sin x c os x ＝4925， 由－π2 x 0 知， sin x 0 ， c os x 0. ∴ sin x － c os x 0 ，從而可得 sin x － c os x ＝－75. ( 2) 由 ( 1) 得，3sin2x2－ 2sinx2c osx2＋ c os2x2tan x ＋1tan x ＝2sin2x2－ sin x ＋ 1sin xc os x＋c os xsin x＝ sin x c os x (2 － c os x － sin x ) ＝??????－1225??????2 －15＝－10 8125. [ 方法總結(jié) ] s in x ＋ c os x ， sin x － c os x ， s in x c os x 之間的關(guān)系為： ( sin x ＋ c os x )2＝ 1 ＋ 2sin x c os x ， ( sin x － c os x )2＝ 1 － 2sin x c os x ， ( sin x ＋ c os x )2＋ ( sin x － c os x )2＝ 2. 因此已知上述三個代數(shù)式中的任意一個代數(shù)式的值可求其余兩個代數(shù)式的值． 已知 sin θ ＋ c os θ ＝15，且π2≤ θ ≤3π4，則 c os2 θ 的值是________ ． [ 答案 ] －725 解得 sin θ ＝45， c os θ ＝－35. ∴ c os2 θ ＝ c os2θ － sin2θ ＝－725.
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