【正文】 特殊的，計(jì)算得分和估計(jì)時采用相同的數(shù)據(jù)，則兩種情況的矩是相同的。 98 3．得分序列 在計(jì)算得分時，需要給定可觀測變量的集合以及相應(yīng)的樣本，得分的計(jì)算將基于給定樣本范圍內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)化后觀測值的線性組合得到。根據(jù)相應(yīng)的選擇，還需要提供其他的信息： （ 1）如果選擇 Exact coefficients或者 Coarse coefficients，將提示選擇估計(jì)方法（ Coef Method），在其下拉菜單中可以選擇：回歸 (Thurst one’s regression)、Bartlett加權(quán)最小二乘 (Bartlett weighted least squares)等方法。 97 2．得分系數(shù) 估計(jì)得分，需要先設(shè)定一個計(jì)算得分系數(shù)的方法，確定是使用精確系數(shù)（ Exact coefficients）、還是粗略系數(shù)（ Coarse coefficients）、或者基于因子載荷計(jì)算的粗略系數(shù)（ Coarse loadings）。 95 1．顯示形式 為了獲得得分系數(shù)和得分序列，在因子對象的工具條中單擊 Score，或者從因子對象菜單選擇 View/Scores...，可得到因子得分設(shè)定對話框。一般獲得的有效性值至少為 ，如果希望使用得分序列作為替代變量，則有效系數(shù)需要大于 。 Rfs 的對角元素被稱為有效性系數(shù)，這些系數(shù)在 1到 1之間，較高的正值是理想的。 94 （ 2）有效性、單一性和相關(guān)精確性指標(biāo) 定義 Rff 作為總體因子相關(guān)矩陣， Rss 作為因子得分相關(guān)矩陣， Rfs作為已知因子與被估計(jì)得分的相關(guān)矩陣。最小相關(guān)系數(shù)取值范圍為 1 到1。這些指標(biāo)的取值在 0和 1之間，數(shù)值越大越好。第一類指標(biāo)測量每一個因子和被觀測變量之間的多元相關(guān)系數(shù) r和它的平方 r2。 Gorsuch (1983) 和 Grice(2023) 給出了關(guān)于下述測量方法的詳細(xì)討論。 εLFZ ?? ),1(2211 mjZbZbZb jpjpjjj ?? ?????? ????????????????mpmmppbbbbbbbbb??????212222111211B92 由因子載荷的意義有： （ ） 即 則有 ，其中 R為樣本相關(guān)矩陣，于是公共因子的估計(jì)為： （ ） 由樣本計(jì)算相關(guān)矩陣，并估計(jì)因子載荷矩陣即可求得因子得分的估計(jì)值。 如果采用主成分分析方法估計(jì)因子載荷矩陣，習(xí)慣上采用未加權(quán)的最小二乘過程生成因子得分，則因子得分為 （ ） ZΨLLΨLF 111 )(? ??? ??? FTF ?? * ?? ZLLLF ???? 1)(?91 2．回歸法 仍然考慮因子模型（ ） （ ） 假設(shè)原始變量已標(biāo)準(zhǔn)化。采用誤差方差的倒數(shù)作為權(quán)系數(shù)，則誤差平方的加權(quán)和可以表示為： （ ） εLFZ ?? )()( 1112LFZΨLFZεΨεε ?????? ????pi ii?90 選擇 F的估計(jì)值使得式（ ）最小化，其解為： （ ） 當(dāng)采用極大似然法求解因子載荷矩陣時，需要滿足唯一性條件： L?? L是對角矩陣。 89 1．加權(quán)最小二乘法 對于因子模型 （ ） 因子載荷矩陣 L及特殊因子方差陣 ?是已知的，可以假定特殊因子 ? 是誤差。這就需要求解個體在公共因子上的得分。 88 因子得分 前面介紹了如何獲得公共因子和估計(jì)因子載荷矩陣，但有時候需要把公共因子表示成原始變量的線性組合，對每個樣本計(jì)算公共因子的估計(jì)值，也就是求因子得分，因子得分可以作為進(jìn)一步分析的原始數(shù)據(jù)。通過觀察旋轉(zhuǎn)后的因子載荷，可以發(fā)現(xiàn)各因子所代表實(shí)際意義更明確。旋轉(zhuǎn)后的公共因子記為 （ i=1， 2， … ， 4），相應(yīng)的載荷記為 ，其結(jié)果如表 。在例 一般市場因子的 F1被破壞了。 84 例 紐約股票交易所股票收益率的因子分析（ 2） 從因子旋轉(zhuǎn)后結(jié)果可以看出石油股票（德士古和埃克森）在因子 F?1有較高的載荷，而化學(xué)股票（阿萊德化學(xué)、杜邦、聯(lián)合碳化物）在因子 F?2有較高的載荷。 EViews的估計(jì)結(jié)果將列出旋轉(zhuǎn)的載荷、因子相關(guān)關(guān)系、因子旋轉(zhuǎn)矩陣、旋轉(zhuǎn)后的載荷矩陣和旋轉(zhuǎn)目標(biāo)函數(shù)值。如果已經(jīng)完成一次旋轉(zhuǎn)，也可以使用已經(jīng)存在的結(jié)果作為下一次旋轉(zhuǎn)的初值。 另外，如果沒有旋轉(zhuǎn)載荷， EViews自動使用單位矩陣作為旋轉(zhuǎn)迭代的初值。默認(rèn)的，在旋轉(zhuǎn)前， EViews不列出載荷權(quán)重。在 EViews中簡單地點(diǎn)擊因子對象工具條中的 Rotate按鈕，或者選擇 Proc/Rotate...，都可以調(diào)用Factor Rotation對話框，如圖 。實(shí)際中，通常經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)以后，如果總方差改變不大，則可以停止旋轉(zhuǎn)。如果旋轉(zhuǎn)完畢，并不能認(rèn)為已經(jīng)達(dá)到預(yù)期的效果，可以在第一輪所得結(jié)果基礎(chǔ)上繼續(xù)上述旋轉(zhuǎn)過程，可得第二輪旋轉(zhuǎn)結(jié)果。最常采用的是最大方差旋轉(zhuǎn)法，其旋轉(zhuǎn)目的是使得因子載荷矩陣的元素取值盡可能地向兩極分化，部分元素取盡可能大的值，部分元素盡量接近零值。正交旋轉(zhuǎn)與斜交旋轉(zhuǎn)區(qū)別就在于：正交旋轉(zhuǎn)得到的新公共因子仍然是相互獨(dú)立的，但斜交旋轉(zhuǎn)則放寬了這一限制。因此，實(shí)際中求得一個載荷矩陣 之后，可通過右乘正交陣 T，使 更具有實(shí)際意義，這種變換載荷矩陣的方法稱為因子軸旋轉(zhuǎn)。 1，公共因子的含義就容易解釋了，否則公因子含義將含糊不清。公共因子是否容易解釋，很大程度上取決于因子載荷矩陣 L 的元素結(jié)構(gòu)。但還有一些變量的載荷并不是很明確，我們可以通過因子旋轉(zhuǎn)得到實(shí)際意義更加明確的因子模式。其它變量相對應(yīng)的公共方差和剩余方差以此類推。 剩余 方差 指標(biāo)名稱 F1載荷 li1 F2載荷 li2 F3載荷 li3 F4載荷 li4 剩余方差 CPI 居民消費(fèi)價格指數(shù) (CPI) 成本 因素 原材料、燃料、動力購進(jìn)價格指數(shù) 工業(yè)品出廠價格指數(shù) 農(nóng)副產(chǎn)品類購進(jìn)價格指數(shù) 商品房銷售價格指數(shù) 工業(yè)企業(yè)成本費(fèi)用利潤率 需求 因素 全部從業(yè)人員人均報(bào)酬增速 城鎮(zhèn)家庭人均可支配收入增速 貨幣 因素 外匯儲備同比增速 貨幣乘數(shù) M2增速 GDP增長率 國際 因素 G7工業(yè)品出廠價格指數(shù) G7支出法 GDP同比增速 股價指數(shù) 上證收盤綜合指數(shù)同比增速 特征值 貢獻(xiàn)率 (%) 累計(jì)貢獻(xiàn)率 (%) 表 影響物價波動多因素的因子分析結(jié)果 從表 ： 4個公因子對原始變量方差的累計(jì)貢獻(xiàn)率為 %，可見通過因子分析實(shí)現(xiàn)了將 15維數(shù)據(jù)變量降至4維的目的。 本例選擇 15個經(jīng)濟(jì)變量，采用因子分析方法分析各因素對物價波動的影響，樣本區(qū)間為 2023年 1季度 ~2023年 3季度。受國內(nèi)經(jīng)濟(jì)波動、居民收入及財(cái)富變化、生產(chǎn)成本價格上漲、國際石油、糧食等原材料價格的影響使得我國物價的波動變得極其復(fù)雜。我們需要進(jìn)一步通過因子旋轉(zhuǎn)才能發(fā)現(xiàn)有用的因子模式。而在因子 F 2上，化學(xué)類股票在此因子上均有負(fù)載荷，石油類股票在此因子上有正的載荷，表明因子 F2 將不同行業(yè)股票加以區(qū)分，稱為行業(yè)因子。其它相對應(yīng)的公共方差和剩余方差以此類推。依次輸入矩陣名稱，這個矩陣應(yīng)該是方陣，并且是對稱的，但是對稱不是必須的；然后輸入一個標(biāo)量表示觀測值的數(shù)，或者一個矩陣，它包含表示觀測值數(shù)目的一對數(shù)；最后，列名（ ）主要是為結(jié)果提供標(biāo)簽，如果不填寫此項(xiàng)，變量將以“V1”, “V2”… 的形式顯示，不需要為所有的列提供名字，默認(rèn)地名字將按照提供的順序被替代。默認(rèn)的， EViews計(jì)算（沒有自由度修正的）ML估計(jì)的協(xié)方差。有 5種不同的權(quán)重選擇：頻率、方差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、比例方差和比例標(biāo)準(zhǔn)偏差。偏協(xié)方差或偏相關(guān)的分析不支持因子得分的計(jì)算，在這種選擇下要計(jì)算因子得分，同樣也需要使用用戶設(shè)定矩陣估計(jì)模型。默認(rèn)的，如果遇到缺失數(shù)據(jù)， EViews將刪除相關(guān)變量中的缺失數(shù)據(jù)。 69 (3) 變量（ Variables） 在該框中應(yīng)列出用于因子分析的序列名稱，或包含這些序列的組名。 67 2． Data 選擇鈕 點(diǎn)擊 Data按鈕，出現(xiàn)圖 ，該窗口分為兩部分 —— 協(xié)方差設(shè)置和協(xié)方差屬性。當(dāng) EViews在計(jì)算中遇到 Heywood情況時，有幾種方法是可選擇的。選中 Scale estimates to match observed variances復(fù)選框，可控制剩余方差和公共方差之和等于離差矩陣的對角元素。在EViews中可以從 Initial munalities的下拉菜單中選擇不同的方法。 (3) 公共方差的初值 （ Initial Communalities） 大部分估計(jì)方法都需要公共方差的原始估計(jì)。實(shí)證模擬結(jié)果表明：MAP和平行分析方法比起其他常用的方法來更精確。 65 (2) 因子數(shù) （ Number of factors） EViews提供了很多的方法選擇因子數(shù)，各種方法的簡要概括可參考 。 (1) 估計(jì)方法（ Method） 在 Method的下拉菜單中， EViews提供了多種估計(jì)方法：極大似然估計(jì)法、廣義最小二乘法、不加權(quán)最小二乘法、主成分分析法、迭代主成分分析法以及非迭代的分區(qū)協(xié)方差估計(jì)方法（ PACE）。從圖中可以看出，因子設(shè)定對話框也包含兩個切換鈕： Data和 Estimation。 62 因子分析的實(shí)現(xiàn) EViews中因子分析的實(shí)現(xiàn)是通過因子對象完成的。表 矩陣。周回報(bào)率定義為（本周五收盤價 上周五收盤價） /上周五收盤價，如有拆股或支付股息時進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。由于式（ ）中的自由度必須大于0，進(jìn)一步化簡可以得到 （ ） 在選擇 m 時，必須根據(jù)上述方法進(jìn)行判斷模型的充分性。 ?????????????nnSΣ?lnln2ΨLLΣ ???? ???L?Ψ? ΨLLΣ ???? ??? ΨLLΣ ???59 利用 Bartlett修正，只要 n和 n p大，若 （ ） 則在顯著性水平 ? 下拒絕原假設(shè) H0，認(rèn)為 m 個因子是不充分的。式（ ）的統(tǒng)計(jì)量服從 ?2分布。設(shè)提取 m個公共因子的模型成立，則檢驗(yàn) m個公共因子的充分性等價于檢驗(yàn) （ ） 對應(yīng)的備擇假設(shè) H1 為 Σ 是任意其他的正定矩陣。計(jì)算模擬數(shù)據(jù)的 Pearson協(xié)方差和相關(guān)矩陣及其特征值。當(dāng)前者超過后者時，所對應(yīng)的 j即為應(yīng)該保留的因子個數(shù)（ Jackson, 1993）。這種方法多用于主成分分析方法，比較典型的是這些成分構(gòu)成總方差的 95%（ Jackson, 1993）。特別地，對于相關(guān)矩陣，特征值的均值為 1，所以通常取特征值大于 1的數(shù)作為公因子數(shù)。本小節(jié)將列出其中幾種常用的方法 1．因子數(shù)目的確定方法 (1) 最小特征值 （ KaiserGuttman Minimum Eigenvalue） KaiserGuttman規(guī)則也叫做“特征值大于 1”方法，是最常用的一種方法。 （ 5） 特殊的直接取 ，則 ?i*=0，此時得到的 也是一個主成分解。特殊的可以取 ? =1，此時結(jié)果等同于主成分求解得到的結(jié)果。 （ 2） 最大相關(guān)系數(shù)方法 （ max absolute correlation） 最大相關(guān)系數(shù)方法是用第 i 個變量 Xi 與其他變量相關(guān)系數(shù)絕對值