【正文】 除此以外，確定因子值還有其他方法 。同理可說明 右端的矩陣 xTx恰好是 x的相關(guān)系數(shù)矩陣 R。 在表達(dá)式 fj = xβj 兩端左乘 xT, 得 xTfj = xTxβj , 即 ?????????????????????????????????????????????????????????????????kjjjnknnkknkkknnnjjjnkkknnxxxxxxxxxxxxxxxxxxfffxxxxxxxxx??????????????????????????2121222211121121222121211121212221212111上式左端的 第 i個(gè)分量 可以寫成（注意 fj與 xi是經(jīng)過了標(biāo)準(zhǔn)化的，因此均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為 1）： ?????????ntjtnttinttjtinttjti fxfxfx121211即 恰好是兩個(gè)向量 fj與 xi的相關(guān)系數(shù)，也就是第 i個(gè)變量在第 j個(gè)公共因子的負(fù)載 aij。 2. 因子值（因子得分）的求法 設(shè)第 j個(gè)公共因子的因子值 fj，可以由原始變量 x1, x2, …, xk的樣本觀察值計(jì)算出來（必須注意，無論是原始變量還是公共因子，都是經(jīng)過了標(biāo)準(zhǔn)化的）。因此需要計(jì)算 因子值（得分 , score） 。而目的往往是利用得到的公共因子作進(jìn)一步的分析。第二個(gè)公共因子 f2對雞肉、魚肉影響大，可以解釋為營養(yǎng)雖好，但制作不便，或食用相對較麻煩。 示例 例 某公司請 12名顧客對 5類肉食偏好打分，結(jié)果如下表 （ 1）求出相關(guān)系數(shù)矩陣如下表 C o r r e l a t i o n M a t r ix1 .0 0 0 . 0 1 6 . 4 2 9 . 3 9 5 . 0 5 3 . 0 1 6 1 .0 0 0 . 1 8 1 . 4 7 3 .5 7 1 . 4 2 9 . 1 8 1 1 .0 0 0 .5 4 5 . 1 4 9 . 3 9 5 . 4 7 3 .5 4 5 1 .0 0 0 . 3 0 1 . 0 5 3 .5 7 1 . 1 4 9 . 3 0 1 1 .0 0 0牛肉魚肉羊肉豬肉雞肉C o r r e la t io n牛肉 魚肉 羊肉 豬肉 雞肉， ， ， ， （ 2）求出 5個(gè)特征值為： （ 3）求出負(fù)載矩陣 C o m p o n e n t M a t r i xa. 4 7 7 . 6 9 5 . 5 2 3 7 . 5 3 1 E 0 2 9 . 9 5 9 E 0 2. 6 8 2 . 5 6 5 7 . 6 0 3 E 0 2 . 3 0 0 . 3 4 5 . 7 0 3 . 4 3 3 . 4 6 8 . 2 6 2 . 1 7 6 . 8 5 4 . 1 3 4 8 . 3 1 3 E 0 2 . 3 3 2 . 3 6 9. 5 8 0 . 6 2 9 . 1 6 9 . 4 6 3 . 1 5 7牛肉魚肉羊肉豬肉雞肉1 2 3 4 5C o m p o n e n tE x t r a c t io n Me t h o d : P r in c ip a l C o m p o n e n t A n a ly s is .5 c o m p o n e n t s e x t r a ct e d .a . To t a l V a r i a n c e E x p l a i n e d2 .2 5 2 4 5 .0 4 2 4 5 .0 4 2 2 .2 5 2 4 5 .0 4 2 4 5 .0 4 21 .4 0 5 2 8 .0 9 7 7 3 .1 3 9 1 .4 0 5 2 8 .0 9 7 7 3 .1 3 9.5 3 4 1 0 .6 7 1 8 3 .8 1 0 .5 3 4 1 0 .6 7 1 8 3 .8 1 0.4 8 9 9 .7 7 6 9 3 .5 8 6 .4 8 9 9 .7 7 6 9 3 .5 8 6.3 2 1 6 .4 1 4 1 0 0 .0 0 0 .3 2 1 6 .4 1 4 1 0 0 .0 0 0C o mp o n e n t12345T o t a l % o f V a r ia n c e C u mu la t iv e % T o t a l % o f V a r ia n c e C u mu la t iv e %I n it ia l E ig e n v a lu e s E x t r a c t io n S u ms o f S q u a r e d L o a d in g sE x t r a c t io n M e t h o d : P r in c ip a l C o mp o n e n t A n a ly s is .其中前兩個(gè)因子對應(yīng)的特征值大于 1, 因此取前兩個(gè)因子 . 它們的累積貢獻(xiàn)率為 %(SPSS計(jì)算的結(jié)果見上表 ). （ 4）用最大方差法旋轉(zhuǎn)，得到含義明確的負(fù)載矩陣 R o t a t e d C o m p o n e n t M a t r i xa . 8 2 2 . 1 8 8 . 1 1 8 . 8 7 8. 8 1 0 . 1 5 8. 7 1 8 . 4 8 07 . 0 5 7 E 0 5 . 8 5 6牛肉魚肉羊肉豬肉雞肉1 2C o m p o n e n tE x t r a c t io n M e t h o d : P r in c ip a l C o m p o n e n t A n a ly s is . R o t a t io n M e t h o d : V a r im a x w it h K a is e r N o r m a li z a t io n .R o t a t io n c o n v e r g e d in 3 it e r a t io n s .a . 于是有 121 特殊因子牛肉 ???? ff221 8 7 1 特殊因子魚肉 ???? ff321 1 5 0 特殊因子羊肉 ??? ff421 特殊因子豬肉 ??? ff5215 特殊因子雞肉 ???? ? ff從表中數(shù)據(jù)看，第一個(gè)公共因子 f1（從絕對值角度看）對牛肉、羊肉、豬肉（都屬于大家畜）的影響大， f1應(yīng)當(dāng)是消費(fèi)者對大家畜肉類的某些特征的共同反映。實(shí)際上，絕大多數(shù)因子分析并沒有產(chǎn)生如此明確的結(jié)果。但一般而言，對公共因子的合理解釋建立在對實(shí)際問題的深刻理解與把握的基礎(chǔ)之上，是 實(shí)踐性很強(qiáng)的藝術(shù) 。 對公共因子實(shí)際意義的解釋 在旋轉(zhuǎn)完成后，按照負(fù)載絕對值的大小，對公共因子的實(shí)際含義進(jìn)行解釋。極端情況是回到原來的變量。 其中 方差最大法是最常用的 方法。 ?方差最大法 (Varimax)：使每個(gè)因子上的負(fù)載盡可能向 ?1的方向，或 0的方向靠近。 坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，有兩種基本方式： 正交旋轉(zhuǎn) （保持因子之間的正交性）與 斜交旋轉(zhuǎn) （旋轉(zhuǎn)后因子之間不再保持正交）。 實(shí)際上，按照前面的方法得到的負(fù)載矩陣 Ak?m所對應(yīng)的公共因子往往綜合性太強(qiáng)，以致難以看出因子的實(shí)際意義，因此 需要通過旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，使負(fù)載盡可能向? 0的方向靠近。 2. 旋轉(zhuǎn)并解釋因子 負(fù)載矩陣 Ak?m不是唯一的，對任意已經(jīng)得到的一個(gè)負(fù)載矩陣 Ak?m， 都可以通過右乘一個(gè)正交矩陣 T得到一個(gè)新的負(fù)載矩陣 AT。 這表明 AT也是負(fù)載矩陣。由于 Ak?m是負(fù)載矩陣，因此AAT=R*(X)。 設(shè) Ak?m是一個(gè)已經(jīng)得到的負(fù)載矩陣。 上述求公共因子的方法稱為 主成分法。 ?碎石準(zhǔn)則 (Scree Test Criterion)：把特征值從大到小，繪在坐標(biāo)圖上（橫坐標(biāo)是特征值從大到小的編號，縱坐標(biāo)是特征根的值），把特征根減小速度變緩的特征根都去掉。 確定因子個(gè)數(shù)的方法。 注意： 這一算法只是近似算法 。若 222 ba ??TTR 2211)( aaaaX ??接近對角矩陣，則說明剩下的主要是特殊因子的影響了，計(jì)算停止。若 111 ba ??TR 11)( aaX ?接近對角矩陣，則說明剩下的主要是特殊因子的影響了，計(jì)算停止。 （ 2） 若 ε未知 ，求負(fù)載矩陣 A的方法（事實(shí)上通常都未知 ε） 現(xiàn) ε未知，先 用 X的相關(guān)系數(shù)矩陣 R(X)代替上面的R*(X)。 記 ，可以證明， 若 λ2是 R1*的最大特征根， b2是與之對應(yīng)的任意一個(gè)模長為 1的特征向量，則 就是所求 。 我們的目標(biāo)是要使第一個(gè)公共因子 f1的方差貢獻(xiàn) 2 12212111 kaaaV ???? ?盡可能大，同時(shí)必須滿足 ，所以目標(biāo)函數(shù)和約束條件是： )(* XAA RT ?)(*或?qū)懗删?陣s . t .m ax*121221211XAA RraaaaaTijmttjitk???????形式?可以證明： 若 b1是對應(yīng)于 R*(X)的最大特征值 λ1的任意一個(gè)模長為 1的特征向量，則 就是滿足上述數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的一個(gè)解 。 可以證明： ??? εAAX ()( C O VC O V T由于 ε已知，所以 已知，記 ?? εX ()( C O VC O