利率期限結(jié)構(gòu)模型[金融計(jì)算與建模](參考版)
2024-12-31 04:05本頁面
【正文】 于是，模型的貼現(xiàn)債券價(jià)格可以由時(shí)間 t的短期利率以及當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)表示： ()t? (0, )ftt? ? ( , ) ( , ) e xp( ( ) )tB t T A t T r T t? ? ?其中， 22( 0 , ) l n ( 0 , ) 1l n ( , ) l n ( ) ( )( 0 , ) 2B T B tA t T T t t T tB t t ??? ? ? ? ??或由貼現(xiàn)債券利率 ，以及當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)表示如下： ( , )tR R t t? ?( , ) ( , ) e xp( ( ) )tB t T A t T R T t? ? ?其中， 2( 0 , ) ( 0 , ) 1?l n ( , ) l n l n ( ) [ ( ) ]( 0 , ) ( 0 , ) 2B T T t B t tA t T t T t T t tB t t B t ???? ? ? ? ? ?HullWhite模型 HullWhite模型實(shí)際上也是單因素 HJM模型的一個(gè)特例。求解上述一階線性差分方程，得： ??1( ) 21. 46( 1 ) ThT ? ? ?? ?? （ ）* ( ) 7( 1 )TThT?? ?? ?? （ ）故： * ( ) ( ) 21. 48Th T h T?? （ ）為風(fēng)險(xiǎn)中性概率： ?rdud????由 ()式，可以推導(dǎo)出： *(1)(1)hh? ?利率期限結(jié)構(gòu) 在第 i種狀態(tài)下剩余到期期限為 T的貼現(xiàn)債券的時(shí)間 n的價(jià)格用初始利率期限結(jié)構(gòu)表示如下： * * *0* * *0( 0 , ) ( 1 ) ( 2) ( ) ( 1 ) ( )( , )( 0 , ) ( 1 ) ( 2) ( ) ( 1 ) ( 1 )iB T n h T n h T n h T i h T i h TB n TB n h n h n h i h i h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?將 ()式和 ()式代入上式，得： ()00( 0 , ) ( 1 ) ( 2) ( )( , )( 0 , ) ( 1 ) ( 2) ( 1 )T n iiB T n h T n h T n h TB n TB n h n h n h? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?特別的，當(dāng) T=1時(shí)，債券價(jià)格為： 00( 0 , 1 )( , 1 )( 0 , ) ( ( 1 ) )nii nBnBnBn?? ? ??????于是，短期利率為： 00( 0 , )( , 1 ) l n ( , 1 ) l n[ ] l n( ( 1 ) ) l n( 0 , 1 ) niiBnr n B n iBn ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??設(shè)隱含二項(xiàng)概率為 q，則 是關(guān)于 i的一個(gè)二項(xiàng)分布，均值為： ( ,1)irn ( 1 )( ) ( )l n[ ] l n( ( 1 ) ) l n l n[ ] l n( ( 1 ) )( 1 ) ( 1 )n q n qnP n P nnqP n P n? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???方差為： 2v a r (1 ) ( l n )nq q ???連續(xù)時(shí)間形式的 HoLee模型 連續(xù)時(shí)間形式的 HoLee模型實(shí)際上是單因素 HJM模型的一個(gè)特例。 ?根據(jù)干擾函數(shù)的定義，上式可寫為： 1( , ) [ ( 1 , 1 ) ( 1 ) ( 1 , 1 ) ] ( , 1 )i i i iB n T B n T B n T B n???? ? ? ? ? ? ?隱含二項(xiàng)式概率為 Cox Ross and Rubinstein (1979)模型中的風(fēng)險(xiǎn)中性概率（ Risk Neutral Probability），于是， rdud????其中， 1( ,1)ir Bn? 1 ( 1 , 1 )( , )i iB n Tu B n T? ??? ( 1 , 1 )( , )iiB n TdB n T?對(duì)重組樹的要求 在定義了干擾函數(shù)之后，就可以用公式來明確對(duì)重組樹的要求了。 *( ) ( 1 ) ( ) 1h T h T??? ? ?其中， n, i0。 ( , )iB nT 1 ( 1, 1)iB n T?( 1, 1)iB n T干擾函數(shù) 定義干擾函數(shù)和如下： 如果利率下降，則債券的價(jià)值向上移動(dòng)到： 1( , 1 )( 1 , ) ( )( , 1 )ii iB n TB n T h TBn????如果利率上升，那么債券的價(jià)值向下移動(dòng)到： *( , 1 )( 1 , ) ( )( , 1 )ii iB n TB n T h TBn???其中， **( ) 1 ( ) 1 ( 0) ( 0) 1h T h T h h? ? ? ?， ， 。即： ( , )iB n T1 ( 1, 1)iB n T? ??( 1, 1)i n T??其中， 定義為在第 i種狀態(tài)下，剩余到期期限為 T的貼現(xiàn)債券在時(shí)間 n的均衡價(jià)格。 4. 對(duì)任意的時(shí)間點(diǎn) n，存在有限個(gè)狀態(tài)。 3. 市場(chǎng)完全。即：無稅收，無交易成本，所有的證券都完全可分。 ( , )tT? ( , )Bt T( , )tT?將方程 ()在等價(jià)鞅測(cè)度下寫成如下形式 ( , ) ?( , )( , ) ttdB t T r dt t T dWB t T ???其中， 為在另一個(gè)概率測(cè)度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。其一般形式如下： ( , ) ( , )ttt r t r??和 1 2 1 2( ) ( )t t t tdr r dt r dW?? ? ? ?? ? ? ?1?2?1?2?表 單因素模型總結(jié) 模型 布倫南和施瓦茨 (BrennenSchwartz,1979) ● ● ● 1 瓦西塞克 (Vasicek,1977) ● ● ● 1 克斯 英格爾索爾 羅斯 ( CIR,1985b) ● ● ● 默頓 (Merton,1973) ● ● 1 多塞 (Dothan,1978) ● 1 皮爾遜和孫 (PearsonSun,1994) ● ● ● ● Vasicek模型 假設(shè)短期利率的歷史數(shù)據(jù)服從 OrnsteinUhlenbeck過程，即： 1 2 1( ) ( )t t t t tdr r dt dW a b r dt dW? ? ? ?? ? ? ? ? ?在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度 Q條件下，得到利率 變化的過程為： tr ?()Qt t tdr a b r dt dW?? ? ?其中 Qbb a????通過求解偏微分方程或鞅方法，可以推導(dǎo)出在時(shí)間 T到期的貼現(xiàn)債券在時(shí)間 t的價(jià)格為： 12( , ) ( , ) e xp( ( , ) )tB t T A t T A t T r??其中， ? ?21 e xp ( )(
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1