奧林匹克數(shù)學(xué)的解題策略(參考版)
2024-10-06 14:47本頁面
【正文】 。中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽還有很多方法（如有序方法，不變量方法，對稱方法，對應(yīng)方法，染色方法，奇偶性方法等等）都有待大家在以后的學(xué)習(xí)中去慢慢發(fā)現(xiàn)，體味，思索。 解：設(shè)個連續(xù)偶數(shù)為則，化簡得，令，則，所以求得：由該式可以知道，不論是奇數(shù)還是偶數(shù)，只要為大于2，為大于2的整數(shù)，那么一定是整數(shù)，故當(dāng)，為正整數(shù)時(shí)，取等于個連續(xù)偶數(shù)2a,2a+2,…..2a+2(n1)的和 此題的證明是一個典型的反向思維過程，從結(jié)論出發(fā)，向條件靠攏，若從正面考慮把寫成個連續(xù)偶數(shù)之和，則事“倍”功“半”。例19：證明：當(dāng)都是給定的正整數(shù)，且時(shí)，可以寫成個連續(xù)偶數(shù)的和。反面法正是從反面考慮問題的一種方法，它是通過否定結(jié)論，找出矛盾來達(dá)到證明的目的。==整體法解題方法的靈活運(yùn)用，需要解題者有較強(qiáng)的觀察能力和心算能力。（）=解：設(shè) 原式=（）。原方程組可以得到如下等價(jià)變形：易得，=105，即購的甲、乙、丙各一件共要105元。但是由于題目所給的已知條件少于未知數(shù)的個數(shù)，要求單價(jià)勢必就得解不定方程，能否不求單價(jià)，而直接求甲，乙，丙各一件的價(jià)格當(dāng)成一個整體來求呢？這就要求從整體上把握條件與結(jié)論之間的聯(lián)系。若購甲4件，購乙10件，購丙1件，共需420元。九：整體法 這一解題策略要求在解題過程中，不是分解它的條件和結(jié)論，采取各個擊破的辦法，而是要立足全局把握條件和結(jié)論的聯(lián)系，擺脫局部細(xì)節(jié)中一時(shí)難以弄清的數(shù)量關(guān)系的糾纏，使眼界更加開闊，以利于看清問題的實(shí)質(zhì)，抓住問題的要害。如果凡是與b1跳過的女青年都與b2跳過，則與b2跳過的女青年比b1至少大于1，這是不可能的。求證必有兩男及兩女，使得b1與g1,b2與g2,跳過，而b1與g2,b2與g1未跳過。 由于“序”的關(guān)系是數(shù)學(xué)中最重要的關(guān)系之一，對極端情形的分析本質(zhì)上是一種特殊形式的有序化方法，它作為探索問題、的思考方式，在解題有著廣泛的應(yīng)用。 解：構(gòu)造三角形，使得AC=4，BC=3，AB=5，以AC為一邊向外作正三角形，再作該三角形的外接圓與以BC為直徑的圓交于C，O兩點(diǎn)連接OB，OC，OA，則由平面幾何知識得，故，設(shè)AO=x,BO=,CO=z,顯然AC，由得到：，化簡的八：極端性原理 在解決數(shù)學(xué)競賽問題時(shí)，常常需要考慮命題中某些量或某些元素的“極端”情況，譬如“最大值”，“最小值”，“邊界值”等等，這是分析和解決問題重要的方法之一。（全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，1994） 解：由韋達(dá)定理有 因?yàn)樗约醇磸?fù)數(shù)在以為圓心，以7為半徑的圓上，因?yàn)椋试c(diǎn)在上述圓內(nèi)，連接OA延長交上述圓于B，延長AO交上述圓于C，則 ， 例15：正數(shù)滿足試求代數(shù)式XY+2YZ+3XZ的值。七：數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要思想方法之一，其特點(diǎn)是由數(shù)思形，將抽象的數(shù)式轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，以形助興。由（2），所以若為奇數(shù)，則在充分大時(shí)，因而不是平方數(shù)。求證：{}的所有項(xiàng)都是完全平方數(shù)。發(fā)現(xiàn)和建立遞推關(guān)系 ，是遞推方法應(yīng)用的關(guān)鍵。利用遞推關(guān)系法解題的一般步驟為：（1）確定初始值；（2）建立遞推關(guān)系；（3）解遞推關(guān)系。該差分方程的解為由和立方米代入，可以求得，于是： 為求使即（天）即需要經(jīng)過3069天才能達(dá)標(biāo)。2（克每立方米），=0。199875克每立方米）。目前上游污染已得到治理，流入湖中的水已不含有污染物，但是湖周圍每天仍有50克這種污染物進(jìn)入湖中，環(huán)保機(jī)構(gòu)希望湖水水質(zhì)達(dá)到污染物濃度不超過0。 例12：一活水湖上游河道有固定流量的水流入，同時(shí)水通過下游河道流出，湖水體積保持在200萬立方米左右，由于受到污染，湖水某中不能自然分解的污染物濃度已經(jīng)達(dá)到0。 函數(shù)模型是同學(xué)們所熟悉的，在許多競
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