高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與題型總結(jié)(參考版)
2025-08-11 18:00本頁(yè)面
【正文】 ?。?）圓錐曲線中的對(duì)稱問(wèn)題 對(duì)于曲線上點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題處理時(shí)要抓住三點(diǎn)： ?。?）對(duì)稱點(diǎn)的連線垂直于對(duì)稱軸（垂直）； ?。?）對(duì)稱點(diǎn)的連線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上（平分）； ?。?）對(duì)稱點(diǎn)所在直線與曲線相交（△0）。a2的漸近線方程是y=177。則P到x軸的距離為多少？解：由雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式得S△F1PF2=b^2cot（θ/2）=√3設(shè)P到x軸的距離為h，則 S△F1PF2 =1/2h2√2。編輯本段面積公式若 ∠F1PF2=θ，則 S△F1PF2=b^2cot（θ/2）或S△F1PF2=b^2/tan（θ/2）) ]稍加整理即得：|AB| = |x1 x2|√（1 + k^2。a^2/c通徑長(zhǎng)（圓錐曲線中，過(guò)焦點(diǎn)并垂直于軸的弦）d=2b^2/a1過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式：d=2pe/（1e^2cos^2θ）弦長(zhǎng)公式d = √（1+k^2）|x1x2|= √[（1+k^2）(x1x2）^2]= √（1+1/k^2）|y1y2|= √[（1+1/k^2）(y1y2）^2 ]推導(dǎo)如下：由 直線的斜率公式：k = (y1 y2） / (x1 x2）得 y1 y2 = k(x1 x2） 或 x1 x2 = (y1 y2）/k分別代入兩點(diǎn)間的距離公式：|AB| = √[(x1 x2）^2。：（y^2/b^2）(x^2/a^2）=1特點(diǎn)：（1）共漸近線；與漸近線平行得線和雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)（2）焦距相等（3）兩雙曲線的離心率平方后的倒數(shù)相加等于1準(zhǔn)線焦點(diǎn)在x軸上：x=177。與雙曲線S為共軛雙曲線。的實(shí)軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S39。將這條直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)PI/2arccos（1/e）角度后就得到漸近線方程，設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角度是θ’則θ’=θ[PI/2arccos（1/e)]則θ=θ’+[PI/2arccos（1/e)]代入上式：ρcos{θ’+[PI/2arccos（1/e)]}=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2即：ρsin[arccos（1/e)θ’]=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2現(xiàn)在可以用θ取代式中的θ’了得到方程：ρsin[arccos（1/e)θ]=[(ep/1e)+(ep/1+e)]/2現(xiàn)證明雙曲線x^2/a^2y^2/b^2=1 上的點(diǎn)在漸近線中設(shè)M(x,y）是雙曲線在第一象限的點(diǎn)，則y=(b/a）√（x^2a^2） (xa)因?yàn)閤^2a^2x^2，所以y=(b/a）√（x^2a^2）b/a√x^2=bx/a即 ybx/a所以，雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)都在直線y=bx/a下方根據(jù)對(duì)稱性第二、三、四象限亦如此離心率第一定義：e=c/a 且e∈（1，+∞）.第二定義：雙曲線上的一點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離│PF│ 與 點(diǎn)P到定直線（相應(yīng)準(zhǔn)線）的距離d 的比等于雙曲線的離心率e.d點(diǎn)│PF│/d線（點(diǎn)P到定直線（相應(yīng)準(zhǔn)線）的距離）=e雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點(diǎn)P(x,y）到焦點(diǎn)距離）左焦半徑：r=│ex+a│右焦半徑：r=│exa│等軸雙曲線一雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)相等 即：2a=2b 且 e=√2這時(shí)漸近線方程為：y=177。θ=arccos（1/e)令θ=0，得出ρ=ep/（1e）,x=ρcosθ=ep/（1e）令θ=PI，得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=ep/（1+e）這兩個(gè)x是雙曲線定點(diǎn)的橫坐標(biāo)。其中p為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，θ為弦與x軸夾角。（b/a)x.焦點(diǎn)在y軸：y=177。叫做雙曲線的虛軸且│BB39。(0,b）。叫做雙曲線的實(shí)軸且│AA39。(a,0）。對(duì)稱性關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱。漸近線的方程求法是：將右邊的常數(shù)設(shè)為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解，例如：X^2/2Y^2/4=1，令1=0，則X^2/2=Y^2/4，則雙曲線的漸近線為Y=177。）頂點(diǎn)雙曲線與兩焦點(diǎn)連線的交點(diǎn)，稱為雙曲線的頂點(diǎn)。（注意：盡管定義2中只提到了一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線。準(zhǔn)線在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準(zhǔn)線離心率在定義2中提到的到給定點(diǎn)與給定直線的距離之比，稱為該雙曲線的離心率。焦點(diǎn)在定義1中提到的兩給定點(diǎn)稱為該雙曲線的焦點(diǎn)，定義2中提到的一給定點(diǎn)也是雙曲線的焦點(diǎn)。[2]編輯本段標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在X軸上時(shí)為：x^2/a^2 y^2/b^2 = 1焦點(diǎn)在Y 軸上時(shí)為：y^2/a^2 x^2/b^2 = 1編輯本段概念特征以下從純幾何的角度給出一些雙曲線的相關(guān)概念和性質(zhì)。在高中的解析幾何中，學(xué)到的是雙曲線的中心在原點(diǎn)，圖像關(guān)于x，y軸對(duì)稱的情形。定義4：在平面直角坐標(biāo)系中，二元二次方程F(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0滿足以下條件時(shí)，其圖像為雙曲線。定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線。定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)。（也可以先推出直角三角形）基本定義定義：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于一個(gè)常數(shù)(常數(shù)為2a)的軌跡稱為雙曲線?！郆C邊上的高AD＝AC.，在△ABC中，由正弦定理得，又∵，所以B＜A，B＝45176。A180176。4.（2011年安徽高考16）在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，a=，b=，求邊BC上的高.解：∵A＋B＋C＝180176。另解2：利用教材習(xí)題結(jié)論解題，在中有結(jié)論由可得即，則，由正弦定理可得。解：（Ⅰ）在中，由及正弦定理可得，即則，而，則，即。又A＞0，所以A=。5.（2011年江西高考14）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則y=_______.答案：—8. 解析：根據(jù)正弦值為負(fù)數(shù)，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標(biāo)為正，斷定該 角為第四象限角。12. （2011年浙江高考18）在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知 (I)求sinC的值；(Ⅱ)當(dāng)a=2， 2sinA=sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng)．2011三角函數(shù)集及三角形高考題答案1.（2011年北京高考9）在中，若，則 .【答案】【解析】：由正弦定理得又所以2.（2011年浙江高考5）.在中，則(A) (B) (C) 1 (D) 1【答案】D【解析】∵，∴，∴.3.（2011年全國(guó)卷1高考7）設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（A） （B） （C） （D）【解析】由題意將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，說(shuō)明了是此函數(shù)周期的整數(shù)倍,得,解得,又,令,得.4.（2011全國(guó)卷），設(shè)函數(shù)（A）y=在單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱（B）y=在單調(diào)遞增，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱（C）y= f (x) 在（0，）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x = 對(duì)稱（D）y= f (x) 在（0，）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x = 對(duì)稱解析：解法一：f(x)=sin(2x+)=(x) 在（0，）單調(diào)遞減，其圖像關(guān)于直線x = 對(duì)稱。（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B。3. （2011年山東高考17） 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面積S。例題9 求函數(shù)的值域例題10 已知函數(shù)≤≤是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。例題6 若2sin2α的取值范圍是 例題7 已知，求的最小值及最大值。A、 B、 C、 D、例題2 A，B，C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且是方程的兩
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