【正文】 ? ,??試問 : 公共汽車的車門至少需要多高才能使 上下車時低頭的人不超過 %?(單位 :米 ) ?X解 : 人的身高 , ),(~ 2??NX?h 車門的高度 , }{ hXP ? )( ??????? ???? hhF9 zh ?? ? 8 7 9 ?? h。 解 (1) }2121{}21|{| ????? XPXP??? 2121 )( dxxf ???021 )( dxxf ?? 210 )( dxxf?? ?? 021 )1( dxx ? ??210 )1( dxx21020212 |)21(|)21( xxxx ????? ????(2) ? ???????? ? ?? xdttfxF x )()(當 1??x 時 , ),(0)( xttf ????? 0)( ?xF01 ??? x當 時 , ?? ???? ?? x dttfdttfxF 11 )()()(xx ttdtt121|)21()1(0?? ????? ?2121 2 ??? xx當 10 ?? x 時 , ??? ??? ???? x dttfdttfdttfxF 0011 )()()()(?? ????? ? x dttdtt 001 )1()1(0xtttt02012 |)21(|)21( ?????2121 2 ???? xx當 時 , 1?x???? ???? ???? x dttfdttfdttfdttfxF 110011 )()()()()(10)1()1(0 1001 ??????? ??? dttdttX 的分布函數(shù)為 ???????????????????????1,110,212101,21211,0)(22xxxxxxxxxF(1) 均勻分布 ( a , b)上的均勻分布 ),(~ baUX記作 常見的連續(xù)型隨機變量的分布 若 X 的密度函數(shù)為 ，則稱 X 服從 區(qū)間 )(xf????? ????其他,0,1)(bxaabxf其中 X 的分布函數(shù)為 ??????????1,0)(abaxxFbxbxaax????,),(),( badc ??xabdXcP d1)( dc? ???? abcd???即 X 的取值在 (a,b)內(nèi)任何長為 d – c 的小區(qū)間 的概率與小區(qū)間的位置無關 , 只與其長度成正 比 . 這正是幾何概型的情形 . 在進行大量數(shù)值計算時，如果在小數(shù)點后第 k 位進行四舍五入，則產(chǎn)生的誤差可以看作 服從 ?????? ? ?? kkU 1021,1021應用場合 例 3 秒表的最小刻度差為 . 若計時精度 是取最近的刻度值 , 求使用該秒表計時產(chǎn)生的 隨機誤差 X 的概率密度 , 并計算誤差的絕對值 不超過 . ? ?~ ?UX解 由題設知隨機誤差 X 等可能地取得區(qū)間 上的任一值，則 ? ??????? ??其他,0,100)(xxf 0)00 (??? ??dxXP所以 (2) 指數(shù)分布 若 X 的概率密度為 ??? ???其他,00,)(xexfx??則稱 X 服從 參數(shù)為 ?的指數(shù)分布 X 的分布函數(shù)為 ??? ????? 0,10,0)(xexxFx??? 0 為常數(shù) 1 x F( x) 0 x f ( x) 0 對于任意的 0 a b, babaxeeaFbFxebXaP?????????????? ?)()(d)(應用場合 用指數(shù)分布描述的實例有： 隨機服務系統(tǒng)中的服務時間 電話問題中的通話時間 無線電元件的壽命 動物的壽命 指數(shù)分布常作為各種 “壽命”分布的近似 例 4 假定一大型設備在任何長為 t 的時間內(nèi)發(fā)生 故障的次數(shù) N( t ) 服從參數(shù)為 ?t 的 Poisson分布 , 求相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布 . 解 )()( tTPtF T ??????????0),(10,0ttTPt)0)(()( ??? tNPtTPtteet ??????? !0)(0??????? ?0,10,0)(tettF t??????? ?0,0,0)(tettf t??即 T服從指數(shù)分布 (3) 正態(tài)分布 若 X 的概率密度為 ?????????xexfx222)(21)( ? ???則稱 X 服從 參數(shù)為 ? , ? 2 的正態(tài)分布 記作 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,?????? ? 為常數(shù)， 0??N (3 , ) 6 5 4 3 2 13???f (x) 的性質(zhì) ： ? 圖形關于直線 x = ? 對稱 : f (? +a ) = f (? a) 在 x = ? 時 , f (x) 取得最大值 ??21在 x = ?177。 連續(xù)型隨機變量 定義 設 X 是一隨機變量，若存在一個非負 可積函數(shù) f ( x ), 使得 ??????? ? ?? xttfxF x d)()(其中 F ( x )是它的分布函數(shù) 則稱 X 是 連續(xù)型隨機變量 ， f ( x )是它的 概率密度函數(shù) ( . )， 簡稱為 密度函數(shù) 或 概率密度 連續(xù)型隨機變量的概念 10 5 5x f ( x) x F ( x ) 分布函數(shù) F ( x )與密度函數(shù) f ( x )的幾何意義 )( xfy ?. f ( x )的性質(zhì) ? 0)( ?xf? 1)(d)( ????? ???? Fxxf常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)，或求其 中的未知參數(shù) ? 在 f ( x ) 的連續(xù)點處， )()( xFxf ??)d)()(( ??????? ? ?? xttfxF x xxFxxFxFx ?????????)()(lim)( 00000xxxXxPx ?????????)(lim 0000)( 0xf???????? ? ?? xttfxF x d)()(積分 不是 Cauchy 積分，而是 Lesbesgue 意義下的 積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對連續(xù)的， 因