等腰三角形練習(xí)題及答案(參考版)
2024-08-16 15:48本頁面
【正文】 ∴AE⊥BF． 17．（2006?郴州）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由．考點：等腰三角形的性質(zhì)．1418944分析：（1）連接AD，根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積，進行分析證明；（2）類似（1）的思路，仍然用計算面積的方法來確定線段之間的關(guān)系．即三角形ABC的面積=三角形ABD的面積﹣三角形ACD的面積．解答：解：（1）DE+DF=CG．證明：連接AD，則S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB?CG=AB?DE+AC?DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）當點D在BC延長線上時，（1）中的結(jié)論不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：連接AD，則S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB?DE=AB?CG+AC?DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理當D點在CB的延長線上時，則有DE﹣DF=CG，說明方法同上． 18．如圖甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底邊BC上有任意一點P，則P點到兩腰的距離之和等于定長（腰上的高），即PD+PE=CF，若P點在BC的延長線上，那么請你猜想PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關(guān)系？寫出你的猜想并加以證明．考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積．1418944分析：猜想：PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF．根據(jù)∵S△PAB=AB?PD，S△PAC=AC?PE，S△CAB=AB?CF，S△PAC=AC?PE，AB?PD=AB?CF+AC?PE，即可求證．解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之間的關(guān)系為PD=PE+CF．理由如下：連接AP，則S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB?PD，S△PAC=AC?PE，S△CAB=AB?CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB?PE，∴AB?PD=AB?CF+AB?PE，即AB（PE+CF）=AB?PD，∴PD=PE+CF． 28。則AE⊥BF．解答：解：AE與BF相等且垂直，理由：在△AEO與△BFO中，∵Rt△OAB與Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90176。OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90176?！唷螦BE=∠CBF=90176。． 15．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90176。．解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠C=60176。又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F． 14．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F．（1）線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論．（2）求∠BFD的度數(shù)．考點：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．1418944分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠BAC=∠C=60176。在△ACE和△ABE中∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分線，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的補角相等），∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180176?！螪+∠BED=∠FCE+∠ECD=60176?！唷鰽EF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60176?！螦FE=∠ACB=60176。求出BD=BE即可；（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由（2）求出CD=3，當E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=1．解答：解：（1）故答案為：=．（2）過E作EF∥BC交AC于F，∵等邊三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60176?！郃C=2CH．∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴2CH?CH=49，∴CH=7．分兩種情況：①P為底邊BC上一點，如圖①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P為BC延長線上的點時，如圖②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案為7；4或10． 12．數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”．小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況，探索結(jié)論當點E為AB的中點時，如圖
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