矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算(參考版)
2024-08-16 10:29本頁面
【正文】 同時(shí)，在我論文寫作過程中，喬嵐老師對我進(jìn)行了耐心的指導(dǎo)和幫助。謝謝你們，我的父親母親！在這四年中，老師的諄諄教導(dǎo)、同學(xué)的互幫互助使我在專業(yè)技術(shù)和為人處事方面都得到了很大的提高。是你們，為我的學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件；是你們，一如既往的站在我的身后默默的支持著我。生我者父母。[10]北京大學(xué)幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M] . 北京: 高等教育出版社, 1988: 350 352.[11]鄭星中, 任芳國. 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) [J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 24(1) : 119121.[12]白素英. 四種計(jì)算方法的比較[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2008 38(2):157158.[13]黃承緒. 矩陣指數(shù)函數(shù)的一些性質(zhì)[J]. 武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 25(2): 147149.[14]羅家洪，[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2006,103120.[15]王高雄，周之銘，朱思銘，[M].高等教育出版社，2006,150244.4致謝行文至此，我的這篇論文也像大學(xué)生活一樣已接近尾聲；歲月如梭，四年前自己剛踏入校園，對大學(xué)生活充滿了好奇與期望，轉(zhuǎn)眼間，已要離去。從而進(jìn)一步的詮釋了矩陣指數(shù)函數(shù)計(jì)算在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。Laplace反變換法利用Laplace反變換，完全避免了特征值的計(jì)算以及矩陣的變換，充分發(fā)揮了Laplace反變換的便捷，計(jì)算過程簡介明了，可以說，在計(jì)算方法的選擇上，這個方法法可以作為首選，但方法也有自己的缺點(diǎn)，即Laplace反變換本身計(jì)算并不簡單。在的計(jì)算方面，本論文參考了一些論文中的一些關(guān)于計(jì)算方面的解法，加以總結(jié)并修改后，首先給出了Hamilton‐Cayley求解法，微分方程系數(shù)求解法，Jordon塊三種求解法（以上解法都是自主命名），然后分別使用這三種方法進(jìn)行介紹，并用例題進(jìn)行解釋，之后指出這三種方法的缺點(diǎn)，第一種和第二種方法的計(jì)算都用到了微分方程方面的相關(guān)知識，這兩種方法中都運(yùn)用了到一個 階的線性微分方程，通過對這個方程的求解來計(jì)算, 同第三種方法相比降低了計(jì)算量，計(jì)算步驟也比較簡單，不過要理解為什么這么做，要清楚理解里面運(yùn)用的一些定理和方法．但是實(shí)際上，由于以上3種方法均需要求矩陣的特征值，如果遇到高階矩陣或者特征值為復(fù)數(shù)，這三種方法的計(jì)算復(fù)雜度都會變高。本論文并沒有從一開始直接介紹矩陣指數(shù)函數(shù)，而是從與矩陣有著密切相關(guān)的齊次線性微分方程組入手，介紹了齊次線性微分方程組的相關(guān)信息，并對齊次線性微分方程組的基解矩陣進(jìn)行求解，從這里了解到，從而對有了初步認(rèn)識。所以進(jìn)一步計(jì)算就可以得到特解所以微分方程組的通解為：，其中是齊次方程組的通解．6 總結(jié)生活中有很多問題可以用線性微分方程組解決，其在現(xiàn)代系統(tǒng)與控制及其工程技術(shù)等等眾多領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用。295 矩陣指數(shù)函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用的應(yīng)用微分方程存在解．如果考慮下面的向量：能夠把線性微分方程表示成：兩邊乘以一個積分因子, 便得到：我們可以計(jì)算，從而得到微分方程的解．如果為，齊次的微分方程組，即，易知, .例１(齊次)我們有以下的微分方程組：相關(guān)矩陣為：我們通過計(jì)算可得：因此微分方程組的通解為：對于非齊次的情況下，方程組的通為齊次方程的通解與非齊次方程的特解的和．我們可以找到形為的一個特解：為讓為方程的解，必須有:因此：例2（非齊次）我們有以下方程組：有，以及。在第二節(jié)中，本文提到了兩種特殊方法，矩陣指數(shù)函數(shù)展開法簡單粗暴，如果A是正交矩陣，用矩陣指數(shù)函數(shù)展開法可以簡化計(jì)算，這種方法避免了對矩陣特征值的計(jì)算，遇到高階矩陣或者特征值為復(fù)數(shù)計(jì)算量也不會變高，缺點(diǎn)是只能用于正交矩陣。 矩陣指數(shù)函數(shù)方法比較以上三種方法各有優(yōu)略，都可以用來計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)。例題，設(shè)，計(jì)算.，表示Laplace反變換。我們將稱為原函數(shù)，而稱為為像函數(shù)。根據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義有為二階正交矩陣,運(yùn)用矩陣指數(shù)函數(shù)展開式方法能夠計(jì)算出, 但是一般的矩陣指數(shù)函數(shù)計(jì)算式，此算法就不行了. Laplace變換法本算法旨在運(yùn)用Laplace反變換，跳過矩陣指數(shù)函數(shù)特征值的計(jì)算以及矩陣的變化。但是二者亦有相應(yīng)的缺點(diǎn)，本節(jié)將對其進(jìn)行詳細(xì)的介紹。接下來，本文將引入兩種特殊的方法矩陣指數(shù)函數(shù)展開法,Laplace變換法。雖然第三種方法的過程多，計(jì)算復(fù)雜，但是這三種方法都可以對一般的矩陣指數(shù)函數(shù)進(jìn)行求解。 設(shè)，是此矩陣Jordon的標(biāo)準(zhǔn)形，如果在的影譜上函數(shù)有定義，那么其中,計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)就可利用矩陣函數(shù)的Jordon標(biāo)準(zhǔn)型了．計(jì)算步驟：1. 求A的Jordon標(biāo)準(zhǔn)形，；2. 由寫出，其中；3. 由計(jì)算變換矩陣，其中；4. 寫出的Jordon表示式把矩陣指數(shù)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)代入即可．例1有矩陣指數(shù)函數(shù)，對其求解，在這里解：求矩陣的初等因子：，矩陣的初等因子是故的Jordon 標(biāo)準(zhǔn)形是變換矩陣和分別為,且，所以的Jordon標(biāo)準(zhǔn)型是：當(dāng)時(shí)，,故 矩陣指數(shù)函數(shù)的特殊計(jì)算方法以上三種方法各有優(yōu)略，都可以用來計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)。令，其中，是階常系數(shù)線性微分方程的解，且滿足定理的初值條件．則所以并且所以是的解。同時(shí),最后算出 微分方程系數(shù)求解法這一節(jié)闡述的是計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的第二種方法，和上節(jié)的方法部分相似，使用了微分方程，不過此方法開始求得的一個表達(dá)式，接著經(jīng)過求解一些常系數(shù)的微分方程來計(jì)算表達(dá)式的系數(shù)，最后算出． 設(shè)階方陣的特征多項(xiàng)式是，則，其中，是階常系數(shù)線性微分方程的解，各自滿足且初值條件：。由初始條件可得一個關(guān)于未知量的階線性方程組：設(shè)系數(shù)矩陣為，那么這個矩陣是范德蒙矩陣，那么，因?yàn)榇司仃嚨奶卣髦刀疾灰粯?，因此這個系數(shù)矩陣行列式不等于，所以這個方程組存在解．，是的元素。證明： 首先證明問題（）~（）解的唯一性．設(shè)都是階矩陣線性微分方程()的解，并且滿足初值條件()，令．所以滿足陣線性微分方程() ，且滿足初值條件 ．所以，內(nèi)所有元素全部符合以下常系數(shù)階線性微分方程，易知此方程的解為,所以，因此。因此可以解決一般性情況，前二種方法建立在微分方程的基礎(chǔ)上，主要利用微分方程來對進(jìn)行計(jì)算，但解法與基本思路并不相同；第三種方法從運(yùn)用到了Jordon表示式的知識，主要根據(jù)矩陣函數(shù)的Jordon表示式的變化求解，此方法經(jīng)過計(jì)算的Jordon表示式計(jì)算，但是變化Jordon標(biāo)準(zhǔn)形階段有點(diǎn)復(fù)雜，而且整理之后變換矩陣也需要計(jì)算，這里所需計(jì)算相當(dāng)大，并且如果矩陣的階數(shù)較大，這里所需的計(jì)算也會變復(fù)雜．雖然如此，但是此方法也有優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算步驟很清楚，過程也很明了，容易理解，除了計(jì)算，在使用時(shí)也很方便． Hamilton‐Cayley 求解法在這節(jié)探究的計(jì)算方法使用了Hamilton‐， 能夠推知是一個初值條件的微分方程的解，通過求解這個微分方程來計(jì)算． (Hamilton
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