熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八含參函數(shù)的零點(diǎn)問題(參考版)
2024-08-16 09:41本頁面
【正文】 第 1頁 熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八 含參函數(shù)的零點(diǎn)問題 專題綜述 典型例題 課后作業(yè) 熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八 含參函數(shù)的零點(diǎn)問題 第 2頁 熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八 含參函數(shù)的零點(diǎn)問題 專題綜述 典型例題 課后作業(yè) 課 時(shí) 作 業(yè) 專 題 綜 述含參函數(shù)的零點(diǎn)問題常以超越方程、分段函數(shù)等為載體，達(dá)到考察函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、參數(shù)的范圍和通過函數(shù)性質(zhì)求解不等 式問題等目的．要注意函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、不等式的解集三者之間的關(guān)系，進(jìn)行彼此之間的轉(zhuǎn)化是解決該類題的關(guān)鍵，等價(jià)轉(zhuǎn)化是這類問題的難點(diǎn)．解決該類問題的途徑往往是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合研究分界位置，結(jié)合函數(shù)、方程、不等式刻畫邊界位置，其間要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用． 第 3頁 熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八 含參函數(shù)的零點(diǎn)問題 專題綜述 典型例題 課后作業(yè) 課 時(shí) 作 業(yè) 典 型 例 題 例 1 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ( a ∈ R ) ， g ( x ) ＝????? f ? x ? ， x ≥ 0 ，f ′ ? x ? ， x 0.若方程 g ( f ( x )) ＝ 0 有4 個(gè)不等的實(shí)根，則 a 的取值范圍是 ________ ． 第 4頁 熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八 含參函數(shù)的零點(diǎn)問題 專題綜述 典型例題 課后作業(yè) a 0 或 a 2 解析： 令 f ( x ) ＝ t ，則 g ( t ) ＝ 0. 當(dāng) a 0 時(shí)，由 g ( t ) ＝ 0 得 t 1 ＝ 0 ， t 2 ＝－a2， f ( x ) ＝ 0 有兩解，則 f ( x ) ＝－a2也要有兩解， f??????－a2＝－a24 －a20 ，解得 a 2 ；當(dāng) a＝ 0 時(shí)， g ( t ) ＝ 0 只有一根 0 ， f ( x ) ＝ 0 只有一個(gè)解 0 ，不符合題意，舍去；當(dāng) a 0 時(shí)，由 g ( t ) ＝ 0 得 t 1 ＝ 0 ， t 2 ＝－ a ， f ( x ) ＝ 0 有兩解， f ( x ) ＝－ a 0 也有兩解，此時(shí)方程 g ( f ( x ))＝ 0 有四個(gè)不等的實(shí)根，綜上可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a 0 或 a 2. 【方法歸類】 求解復(fù)合 方程問題時(shí)，往往把方程 f [ g ( x )] ＝ 0 分解為 f ( t ) ＝ 0 和 g ( x )＝ t 處理，先從方程 f ( t ) ＝ 0 中求 t，再代入方程 g ( x ) ＝ t 中求 x 的值． 第 5頁 熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八 含參函數(shù)的零點(diǎn)問題 專題綜述 典型例題 課后作業(yè) 例 2 (1) 若關(guān)于 x 的方程 | x4－ x3|＝ ax 在 R 上存在 4 個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 ________ ． (2) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x2＋ | x － a |， g ( x ) ＝ (2 a － 1) x ＋ a ln x ，若函數(shù) y ＝ f ( x ) 與函數(shù) y ＝ g ( x )的圖象恰好有 2 個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 ________ ． 第 6頁 熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八 含參函數(shù)的零點(diǎn)問題 專題綜述 典型例題 課后作業(yè) (1) ??????0 ，427 解析： 易知 x ＝ 0 為方程 | x4－ x3|＝ ax 的根，下面只需要研究當(dāng) x ≠ 0 時(shí)的情形．當(dāng) x ≠ 0 時(shí)， a ＝ | x3－ x2|，令 f ( x ) ＝ x3－ x2， f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 2 x ，由 f ′ ( x ) 0 得x 0 或 x 23，由 f ′ ( x ) 0 得 0 x 23，又 f (1) ＝ 0 ，所以 g ( x ) ＝| x4－ x3|x＝????? | f ? x ? |， x 0 ，－ | f ? x ? |， x 0的圖象如圖所示，則要保證直線 y ＝ a 與函數(shù) g ( x ) 的圖象有 3 個(gè)交點(diǎn)，必須有 a ∈??????0 ，427. 第 7頁 熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八 含參函數(shù)的零點(diǎn)問題 專題綜述 典型例題 課后作業(yè) (2) (1 ，＋ ∞ ) 解析： (1 ，＋ ∞ ) 因?yàn)楹瘮?shù) g ( x ) 的定義域?yàn)?( 0 ，＋ ∞ ) ，所以函數(shù) y＝ f ( x ) 與函數(shù) y ＝ g ( x ) 的圖象在區(qū)間 (0 ，＋ ∞ ) 上恰好有 2 個(gè)不同的交點(diǎn)．當(dāng) a ≤ 0 時(shí)，函數(shù) f ( x ) ＝ x2＋ x － a 在 (0 ，＋ ∞ ) 上遞增，函數(shù) g ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上遞減，函數(shù) y ＝ f ( x )與函數(shù) y ＝ g ( x ) 的圖象在區(qū)間 (0 ，＋ ∞ ) 上最多有一個(gè)交點(diǎn)，所以 a 0 ，令 F ( x ) ＝ f ( x )－ g ( x ) ＝????? x2－ 2 ax － a ln x ＋ a ， 0 x a ，x2＋ 2 ? 1 － a ? x － a ln x － a ， x ≥ a ，因?yàn)楫?dāng) 0 x a 時(shí)， F ′ ( x ) ＝ 2( x － a ) －ax0 ，當(dāng) x ≥ a 時(shí)， F ′ ( x ) ＝ 2 x ＋ 2 － 2 a －ax＝ 2( x － a ) ＋2 x － ax0 ， 第 8頁 熱點(diǎn)難點(diǎn)微專題八 含參函數(shù)的零點(diǎn)問題 專題綜述 典型例題 課后作業(yè) 所以 F ( x ) 在 (0 ， a ) 上遞減，在 ( a ，＋ ∞ ) 上遞增，故 F ( x ) m in ＝ F ( a ) ＝－ a2＋ a － a ln a ，結(jié)合 F ( x ) 的圖象可得，要使得 F ( x ) 有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要 F ( a )0 ，即 a － 1 ＋ ln a 0 ，令 h ( a ) ＝ a － 1 ＋ ln a ，則 h ′ ( a ) ＝ 1 ＋1a0 ，所以 h ( a ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上遞增．又因?yàn)?h (1)＝ 0 ， h??????1e0 ， h (e) 0 ，所以 a 1 ，故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 (
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