廣義變分原理第0章(參考版)
2025-07-27 17:34本頁(yè)面
【正文】 ?注 2： 微分方程（歐拉方程） 由泛函求變分得到 已知的（但求解難） 相當(dāng)?shù)姆汉瘶O值（駐值）問(wèn)題 用近似解解決。 第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 變分問(wèn)題 注 1： 變分法與歐拉方程代表同一問(wèn)題，但微分方 程求解難，而變分求近似解易。但也有一些問(wèn)題，微分方程是已知的，但求解很困難，若把它們化成相當(dāng)?shù)姆汉兎智髽O值問(wèn)題，求其近似解，則就能解決。但從泛函變分求近似解并不困難，這也是變分法被重視的一個(gè)原因。 ?問(wèn)題的轉(zhuǎn)化： 泛函的極值（駐值）問(wèn)題 （經(jīng)變分運(yùn)算） 函數(shù)的極值（駐值）問(wèn)題； 求解線(xiàn)性代數(shù)方程組問(wèn)題。 0?I?第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 變分問(wèn)題 就本質(zhì)而言，要把力學(xué)中的 微分方程定解問(wèn)題 ，變?yōu)榍?泛函的極值（駐值）問(wèn)題 ；而在求解問(wèn)題的近似解時(shí)，泛函的極值（駐值）問(wèn)題進(jìn)而變成 函數(shù)的極值（駐值）問(wèn)題 ；最后把問(wèn)題歸結(jié)為 求解代數(shù)方程組的問(wèn)題 。0?I?第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 變分問(wèn)題 一般情況下，由泛函的極值（或駐值）條件，即 ，推出的自變函數(shù)所應(yīng)滿(mǎn)足的方程和邊界條件，分別稱(chēng)為 歐拉方程（ Euler Equation） 和 自然邊界條件（ Natural Boundary Condition） 。39。 ??? ?????? ?0)( 39。)(xy)(xy第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 變分法問(wèn)題 因 任意，由 得到極值或駐值條件： （ Euler Equation） dxyyfyyfI ba )( 39。 0)(,0)( ?? byay 試由泛函 的極值（駐值）條件求出函數(shù) 所應(yīng)滿(mǎn)足的方程。 研究如何求解泛函極值（或駐值）的方法，稱(chēng)為 變分方法 。 ? ?)(xyI )(0 xyy ?yxyxy ??? )()( 00?I?)(0 xy? ?)(0 xyI? ?)(xyI 而曲線(xiàn) 稱(chēng)為 的極值曲線(xiàn)。 )(xy 0xx?)( 0xy0?dy)(xy 0xx?0?dxdy第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 泛函的極值 泛函的極值問(wèn)題：若泛函 在 的鄰近任一函數(shù) 的值均不大于或均不小于 ，即： ? ? ? ? )0(0)()( 0 ??? xyIxyI 則稱(chēng) 使泛函 取極大值或極小值。 ???? ??????? ?? 定義泛函 變分為 ，有： ? ?)(xyI I?第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 函數(shù)的極值 四、函數(shù)和泛函的極值問(wèn)題 函數(shù)的極值問(wèn)題：若函數(shù) 在 的
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