廣義變分原理第0章-資料下載頁
2025-07-24 17:34本頁面
【正文】 變分法問題 因 任意，由 得到極值或駐值條件： （ Euler Equation） dxyyfyyfI ba )( 39。39。 ??? ?????? ?0)( 39。 ?????? yfdxdyfy?yd xyfdxdyyfdxyyf bababa ??? )()( 39。39。 ????????? ??y d xyfdxdyfba?? ???????????? )(39。0?I?第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 變分問題 一般情況下，由泛函的極值（或駐值）條件，即 ，推出的自變函數(shù)所應(yīng)滿足的方程和邊界條件，分別稱為 歐拉方程（ Euler Equation） 和 自然邊界條件（ Natural Boundary Condition） 。 而自變函數(shù)事先必須滿足的邊界條件稱為 本質(zhì)邊界條件 （或稱 基本邊界條件 、或稱 固定邊界條件 ）。 0?I?第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 變分問題 就本質(zhì)而言，要把力學(xué)中的 微分方程定解問題 ，變?yōu)榍?泛函的極值（駐值）問題 ；而在求解問題的近似解時(shí)，泛函的極值（駐值）問題進(jìn)而變成 函數(shù)的極值（駐值）問題 ；最后把問題歸結(jié)為 求解代數(shù)方程組的問題 。 變分方法的實(shí)質(zhì)： 第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 變分問題 力學(xué)中的 微分方程定解問題 （找到對(duì)應(yīng)的泛函） 泛函的極值（駐值）問題。 ?問題的轉(zhuǎn)化： 泛函的極值（駐值）問題 （經(jīng)變分運(yùn)算） 函數(shù)的極值（駐值）問題； 求解線性代數(shù)方程組問題。 求近似解時(shí)： ??第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 變分問題 人們可從歐拉方程求解或從變分法直接求近似解（例有限元法、立茲法、伽遼金法等），其效果是一樣的。但從泛函變分求近似解并不困難，這也是變分法被重視的一個(gè)原因。 關(guān)于泛函的駐值問題與歐拉方程的邊值問題 力學(xué)問題的微分方程（即歐拉方程）可從泛函求極值得到。但也有一些問題，微分方程是已知的，但求解很困難，若把它們化成相當(dāng)?shù)姆汉兎智髽O值問題，求其近似解，則就能解決。 值得指出，并不是所有微分方程都能找到相當(dāng)?shù)姆汉瑢?duì)這類問題只能借助于其它方法（如伽遼金法、最小二乘法、加權(quán)余量法等）求近似解。 第五節(jié) 預(yù)備知識(shí) 變分問題 注 1： 變分法與歐拉方程代表同一問題，但微分方 程求解難，而變分求近似解易。 ?注 3： 微分方程給定，但難以找到相當(dāng)?shù)姆汉? 伽遼金法、最小二乘法、加權(quán)余量法等求近似解。 ?注 2： 微分方程（歐拉方程） 由泛函求變分得到 已知的（但求解難） 相當(dāng)?shù)姆汉瘶O值（駐值）問題 用近似解解決。 ???
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