1679有理系數(shù)多項(xiàng)式(參考版)
2025-07-27 17:12本頁(yè)面
【正文】 一、本原多項(xiàng)式 二、整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 問(wèn)題的引入 1. 由因式分解定理 ， 作為一個(gè)特殊情形： 對(duì) 則 可唯一分解 ? ?( ) [ ] , ( ) 1 ,f x Q x f x? ? ? ?()fx成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的積 . 但是，如何作出它的分解式卻很復(fù)雜，沒有一個(gè) 一般的方法 . 2. 我們知道，在 上只有一次多項(xiàng)式才是不可約 C多項(xiàng)式； 在 上，不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式與某些 R二次多項(xiàng)式； 但在 上有任意次數(shù)的不可約多項(xiàng)式．如 Q2 , .nx n Z ?? ? ?如何判斷 上多項(xiàng)式的不可約性呢 ? Q3. 有理系數(shù)多項(xiàng)式可歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的問(wèn)題． 這是因?yàn)槿我挥欣頂?shù)可表成兩個(gè)整數(shù)的商． 110( ) ,nnnnf x a x a x a??? ? ? ?事實(shí)上，設(shè) 則可選取適當(dāng)整數(shù) ,c 使 為整系數(shù)多項(xiàng)式． ()cf x( ) ( ) ,c f x d g x?()cf x若 的各項(xiàng)系數(shù)有公因子，就可以提出來(lái)，得 也即 ( ) ( ) ,df x g xc?其中 是整系數(shù)多項(xiàng)式，且各項(xiàng)系數(shù)沒有異于 ()gx的公因子． 1?一、本原多項(xiàng)式 設(shè) 11 1 0( ) 0 ,nnnng x b x b x b x b??? ? ? ? ? ?定義 , 0 , 1 , 2 , , .ib Z i n?? 若 沒有 1 1 0, , , ,nnb b b b?則稱 為 本原多項(xiàng)式 ． ()gx異于 的公因子，即 1 1 0, , , ,nnb b b b?1? 是互素的， 有關(guān)性質(zhì) 1． ( ) [ ] , ,f x Q x r Q? ? ? ?使 ( ) ( ) ,f x r g x?其中 為本原多項(xiàng)式． ()gx（除了相差一個(gè)正負(fù)號(hào)外，這種表示法是唯一的）． 2． Gauss引理 定理 10 兩個(gè)本原多項(xiàng)式的積仍是本原多項(xiàng)式 ． 設(shè) 110( ) ,nnn
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