第九節(jié)有理系數(shù)多項式(參考版)
2025-07-26 10:04本頁面
【正文】 |.102021apaaapapnnn?????上頁 下頁 返回 是一個 整系數(shù)多項式 ，如果有一個素數(shù) p ，使得 f(x)=anxn+an1xn1+…+ a0 那么， f(x)在有理數(shù)域上是不可約的 . 證明 如果 f(x) 在有理數(shù)域上可約，那么由定理 11， f(x)可以分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積： ).,())(()( 011011nmlnmlcxcxcbxbxbxf mmmmllll?????????? ???? ??因此 an=blcm ， a0=b0c0 . 上頁 下頁 返回 因為 p|a0 ，所以 p能整除 b0 或 c0 . 但是 p2| a0 ，所以 p不能同時整除 b0 及 c0 . 因此不妨假定 p|b0 ，但 p| c0 . .0110 kkkk cbcbcba ???? ? ?式中 ak, bk1, … , b0 都能被 p整除，所以 bkc0也必須能被 p整除 . 但是 p是一個素數(shù)，所以 bk與 c0中至少有一個被 p整除 . 這是一個矛盾 . 從而， f(x)在有理數(shù)域上是不可約的 . 證畢 . 上頁 下頁 返回 另一方面，因為 p| an 所以 p| bl . 假設(shè) b0, b1 ,… , bl中第一個不能被 p整除的是 bk . 比較 f(x)中 xk 的系數(shù)，得等式 例 證明多項式 f(x)=x3+3 在有理數(shù)域上是不可約的 . 證 取 p=3，顯然滿足定理條件，即 3不能整除首項系數(shù) 1，可整除其它系數(shù)，但 32=9不能整除常數(shù)項 3，因此根據(jù)定理 13，可知 f(x)=x3+3 在有理數(shù)域上是不可約的 . 證畢 . 上頁 下頁 返回 根據(jù)定理 13，可知對于任意的正整數(shù) n ，多項式 2?nx上頁 下頁 返回 在有理數(shù)域上是不可約的 . 由此可得 結(jié)論 ： 在有理數(shù)域上，存在任意次數(shù)的不可約多項式 . 此即為我們提出的第二個問題 。 1全不是 f(x) 的根，因而得到 f(x)在有理數(shù)域上是不可約 .
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