【正文】 我們定義一個符號 s,使 s= （ δ+jΩ） t， 最終得到一個更廣義的傅里葉變換，這就是“拉普拉斯變換”！ 傅里葉變換與拉普拉斯變換的自變量取值范圍對比如圖： 因而傅里葉變換是拉普拉斯變換的子集！ 返回 。)( ?返回 167。 (FIR)系統(tǒng) h(n)為有限長序列的系統(tǒng)。 ????????????????????????MkkMmmkkMkkmMmmkMkkmMmmknyamnxbnyazazbzazbzH101000)()()(01)(，序列就是無限長的。 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 n 零極點分布情況 0 ω ω 0 2? ?23? ?2? ?21 0 a 1 azzzH??)()](arg[ ?jeH)( ?jeHa?11? ? 000:)(a r g1111111111:)(22320:1122atgatgeHaaaaaeHjj????????????????][zjI m][zRe?)()( nuanh n?返回 167。 這是一因果系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為 而頻率響應(yīng)為 : 幅度響應(yīng)為 : 相位響應(yīng)為 : )s inc o s1/(111)()(?????jaaaezHeHjezjj????????)。 [例 214] 設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為 : [解 ]: 對差分方程兩邊取 Z變換 : ， a為實數(shù) ,求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 。 零點在單位圓上 0, 處；極點在 , 處 。極點在圓外，系統(tǒng) 不穩(wěn)定。零點可在單位圓外。 (1). 表示原點處零極點，它到單位圓 的距離恒為 1，故對幅度響應(yīng)不起作用只 是給出線性相移分量 ω(NM)。)(11?????NkmMmmj KeH???因此，? ?? ???????MmNkkmjMNKeH1 1)(]a r g [)](a r g [???模： 相角： 極點指向向量。 五 .頻率響應(yīng)的幾何確定 )](a r g [11)(111111)()()()()()()1()1()(??????jeHjjNkkjMmmjMNjjNkkMmmMNNkkMmmeeHdeceKeeHdzczKzzdzcKzH??????????????????????????返回 167。 )()()()()()()()()(??? jjj eHeXeYzHzXzYnhnxny???? 也就是說，其輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。 三 .系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系 ??????????????????????NkkkMmmmMmmmMkkkMmmMkkzazbzXzYzHzXzbzYzamnxbknya000000)()()()()()()(??????????MkkMmmzdzcKzXzYzH1111)1()1()()()(線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表示： 取 z變換得： 對上式因式分解 ,令 得： 返回 167。 因果系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為因果序列， 其收斂域為 R+|z|≤∞ ；而因果 穩(wěn)定 系 統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)收斂域為 1≤| z|≤∞ ， 也就是說 ,其全部極點必須在單位圓內(nèi)。 z變換 H(z)的收斂域由 滿足 ∑| h(n)zn|∞的那些 z值確定。 ?jez ?一 .系統(tǒng)函數(shù) : 返回 167。 26 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 及頻率響應(yīng) 一 .系統(tǒng)函數(shù) 二 .因果穩(wěn)定系 統(tǒng) 三 .系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系 四 .系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義 五 .頻率響應(yīng)的幾何確定 六 .IIR系統(tǒng)和 FIR系統(tǒng) 返回 167。 ： )(I m [)()]([)](R e [)()]([????jjIojjReeXjeXnxFeXeXnxF????返回 167。換等于其傅氏變換即序列翻褶后的傅氏變)()]([.5* ?jeXnxF ??)](I m [)](I m [)](I m [)](R e [)](R e [)](R e [.6**????????jjjjjjeXeXeXeXeXeX?????????奇函數(shù)，即是的實序列傅氏變換的虛部同樣，偶函數(shù)，即是的實序列傅氏變換的實部返回 167。為奇序列、奇對稱序列、偶函數(shù)；為偶序列、偶對稱序列)()()()()(.1nxnxnxnxnxeeoe??)()(),()(.4)]()([21)(.3)]()([21)(.2**nxnxeXeXnxnxnxnxnxnxjjoe????????????返回 167。 )()]([ ?jIo ejXnxF ?即，)()]()()()([21)]()([21)]([)]()([21)(**???????jIjIjRjIjRjjooejXejXeXejXeXeXeXnxFnxnxnx????????????證明： 返回 167。 六、序列的偶、奇部與其傅氏變換的實、虛部的關(guān)系 )()]([ ?jRe eXnxF ?即，證明： )()]()([21)]([)]()([21)(**???jRjjeeeXeXeXnxFnxnxnx????????返回 167。 五、序列的實、虛部與其傅氏變換偶、奇部的關(guān)系 )() } ]([ R e { ?je eXnxF ?即， 證明： )()]()([21)]}({ R e [)]()([21)](R e [**???jejjeXeXeXnxFnxnxnx????????返回 167。 四、兩個基本性質(zhì) ，則有如果 )]([)(.1 nxFeX j ??)]([)( ** nxFeX j ?? ?證明： )(]))([(])([)()]([*****????jnjnnjnnjneXenxenxenxnxF?????????????????????返回 167。)]()([21)()]()([21)()()()()()()()()(*****nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxoeoeoeoe???????????????相減，則相加，則進(jìn)行運算，則對序列返回 167。 為實奇函數(shù)，為實偶函數(shù)，其中， )()( nxnx orer列的實部；它們之和可構(gòu)成任何序可為實偶函數(shù)，它們之和為實奇函數(shù)， )()( nxnx oiei故有所證。 返回 167。()( nxnxnxnxoioioror ????? 這說明共軛反對稱序列的實部是奇對稱序列（奇 函數(shù)），而虛部是偶對稱序列（偶函數(shù)）。 2 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足 xo(n)=xo*(n) 則稱序列為共軛反對稱序列。 )()()( njxnxnx eiere ?? )()( nxnxeier 和)()()(* njxnxnx eiere ??)()()(* njxnxnx eiere ?????)()()。對其兩邊取共軛，則 再將 n代入，則 根據(jù)定義，則 這說明共軛對稱序列的實部是偶對稱序列（偶函數(shù)），而虛部是奇對稱序列（奇函數(shù)）。下面分析它們的對稱關(guān)系。 167。 返回 167。 ?????????kaa TjkjXTjX )2(1)(? ?)(?)()( ??? ?? ? jXeXzX aTjez Tj?jez ?T??? 返回 167。因此 , 這就是說 ,（抽樣）序列在 單位圓 上的 Z變換 ,就等于理想抽樣信號傅氏變換。 Ω= 0， S平面的實軸， ω= 0， Z平面正實軸； Ω=Ω 0(常數(shù) )， S:平行實軸的直線， ω= Ω 0T,Z:始于 原點的射線； Ω S:寬 的水平條帶， ω 整個 z平面 . TTT??? 2),( ??(2).ω與 Ω的關(guān)系（ ω=ΩT） ),( ????返回 167。 =0,即 S平面的虛軸 r=1,即 Z平面單位圓； σ → σ σ 0,即 S的左半平面 r1,即 Z的單位圓內(nèi)； → 0, 即 S的右半平面 r1,即 Z的單位圓外 。這就是說， Z的模只與 S的實部相對應(yīng) , Z的相角只與 S虛部 Ω相對應(yīng)。 )()( nTxnx a?nnznxzX ???????