【正文】 模型的預測結果。 2??t? 4??t? 表 3對中國居民人均居民消費水平的 2期外推預測。 最后，給出通過模型 3的外推預測。 不同模型的回歸結果列于表 。 下面只建立 中國人均居民消費 （ CPC） 的隨機時間序列模型 。 對 2022年中國支出法 GDP的預測結果（億元） 預測值 實際值 誤差 模型 1 95469 95933 % 模型 3 97160 95933 % 由于 中國人均居民消費 （ CPC） 與人均國內生產(chǎn)總值（ GDPPC） 這兩時間序列是非平穩(wěn)的 ， 因此不宜直接建立它們的因果關系回歸方程 。 模型 1可作如下展開： )()( 3222111 ????? ????? tttttt GDPGDPGDPGDPGDPGDP ??3221211 )()1( ??? ????? tttt G D PG D PG D PG D P ???? 于是，當已知 t t t3期的 GDP時，就可對第 t期的GDP作出外推預測。因此 : 模型 1與 3可作為描述中國支出法 GDP一階差分序列的隨機生成過程。 本例中加入常數(shù)項的回歸為： tttt G D P DG D P DG D P D ????? ?? 21 16 7 9 0 91 （ ） （ ） （ ） r2 = R2 = DW.= ? 模型檢驗 下表列出三模型的殘差項的自相關系數(shù)及 QLB檢驗值。再次驗證了一階差分后的GDP滿足 AR(2)隨機過程。因此 可初步判斷該序列滿足 2階自回歸過程 AR(2)。 記 GDP經(jīng)一階差分后的新序列為 GDPD1， 該新序列的樣本自相關函數(shù)圖與偏自相關函數(shù)圖如下： 0 .4 0 .20 .00 .20 .40 .60 .81 .02 4 6 8 10 12 14 16 18G D P D 1 A C0 . 60 . 40 . 20 .00 .20 .40 .60 .81 .02 4 6 8 10 12 14 16 18G D P D 1 P A C 例 中國支出法 GDP的 ARMA(p,q)模型估計。 常用的模型選擇的判別標準有： 赤池信息法 （ Akaike information criterion， 簡記為 AIC）與 施瓦茲貝葉斯法（ Schwartz Bayesian criterion， 簡記為 SBC）： )l n ()l n (2)l n (TnR S STS B CnR S STA IC???? 由第一節(jié)知：中國支出法 GDP是非平穩(wěn)的 ， 但它的一階差分是平穩(wěn)的 ， 即支出法 GDP是 I(1)時間序列 。 在選擇可能的模型時 ， AIC與 SBC越小越好 顯然 ， 如果添加的滯后項沒有解釋能力 ， 則對 RSS值的減小沒有多大幫助 ， 卻增加待估參數(shù)的個數(shù) ， 因此使得 AIC或 SBC的值增加 。 因此， 對可能的適當?shù)哪Ｐ停嬖谥Ｐ偷摹昂啙嵭浴迸c模型的擬合優(yōu)度的權衡選擇問題。 AIC與 SBC模型選擇標準 另外一個遇到的問題是，在實際識別 ARMA(p,q)模型時，需多次反復償試，有可能存在不止一組（ p,q）值都能通過識別檢驗。 殘差項的白噪聲檢驗 可用 QLB的統(tǒng)計量進行 ?2檢驗 ：在給定顯著性水平下，可計算不同滯后期的 QLB值，通過與 ?2分布表中的相應臨界值比較，來檢驗是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設。 如果通過所估計的模型計算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識別與估計有誤，需重新識別與估計。 下面以一般的 ARMA(p,q)模型為例說明。 ??2的估計值為： pnSpnnptt ???? ??? 122 1? ??? 需要說明的是， 在上述模型的平穩(wěn)性、識別與估計的討論中， ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項。 為了與 AR(p)模型的 Yule Walker方程估計進行比較，將(**)改寫成： ??????????????????? ????nptjttnptjtptpnptjttnptjtt XXnXXnXXnXXn111221111??? ??? ?j=1,2,… ,p 由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估計值 ??????knpttktk XXn11??代入，上式表示的方程組即為： jpjpjj ??????? ??????? 2211 ???? ??? ?或 jpjpjj rrrr ???? ??? ??? ??? 2211 ?j=1,2,… ,p j=1,2,… ,p 解該方程組，得到： ????????????????????????????????????????????????pppppp rrrrrrrrrrrr??????21102120111021??????即為參數(shù)的最小二乘估計。按照估計 MA模型參數(shù)的方法，可以得到 ?1,?2,?,?q以及 ??2的估計值。 ⒊ ARMA(p,q)模型的矩估計 在 ARMA(p,q)中共有 (p+q+1)個待估參數(shù) ?1,?2,?,?p與?1,?2,?,?q以及 ??2， 其估計量計算步驟及公式如下： 第一步 ，估計 ?1,?2,?,?p ???? ? ?? ? ?? ? ???????? ? ?? ? ?? ? ????121 111 2112??????pq q q pq q q pq p q p qqqq p???????????????????????????????????????????? ? ?? ?? ? ? ???????k 是總體自相關函數(shù)的估計值，可用樣本自相關函數(shù) rk代替。 （ 1） MA(1)模型的直接算法 對于 MA(1)模型 ， （ *） 式相應地寫成 1212120???)?1(??????????????于是 211 ??? ???? ??0???? 21204 ??? ???? ?? 或 0???? 212410 ???? ???? ??有 于是有解 )?411(2?? 2102 ??? ? ???)?411(?2??? 211211 ????? ? ?????? 由于參數(shù)估計有兩組解，可根據(jù)可逆性條件 |?1|1來判斷選取一組。 ⒉ MA(q)模型的矩估計 將 MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計量代替，得到： ?????????????????? ??qkqkkqkqkkqk當當當01)?????(?0)???1(?? 112222212??????????? ???? 首先 求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值， (*)是一個包含(q+1)個待估參數(shù) (*) 221 ?,??,? ????? q?的非線性方程組，可以用 直接法 或 迭代法 求解。 結構 階數(shù) 模型 識別 確定 估計 參數(shù) ⒈ AR(p)模型的 Yule Walker方程估計 在 AR(p)模型的識別中，曾得到 pkpkkk ??? ???? ??????? ?2211利用 ?k=?k，得到如下方程組： kppppppppp????? ????????????????????????????????????12112211211211 此方程組被稱為 Yule Walker方程組 。 ARMA(p, q)過程 表 9 . 2 . 1 A R M A ( p , q ) 模型的 AC F 與 P AC F 理論模式 模型 AC F P AC F 白噪聲 0?k? 0*?k? AR ( p ) 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） P 階后截尾： 0*?k? ， k p M A ( q ) q 階后截尾：，0?k?， k q 衰減趨于零（幾何型或振蕩 型） AR M A ( p , q ) q 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） p 階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） 圖 9 . 2 . 2 A R M A ( p , q ) 模型的 ACF 與 P A C F 理論模式 A C F P A C F 模型 1 ： tttXX ???? 10 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 2 3 4 5 6 7 8A CF 10 .00 .20 .40 .60 .81 2 3 4 5 6 7 8P A C F 1