高三數(shù)學函數(shù)與方程思想(參考版)
2024-11-13 08:50本頁面
【正文】 5 8 ．方程 x l g ( x ＋ 2) ＝ 1 有 _ _ _ _ _ _ _ _ 個不同的實數(shù)根． 解析 x l g ( x ＋ 2) ＝ 1 ，轉(zhuǎn)化為 l g ( x ＋ 2) ＝1x. 方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù) y ＝ l g ( x ＋ 2) 與函數(shù) y ＝1x的圖象交點問題，如圖所示，有兩個交點． 2 三、解答題 9 ．已知 { a n } 是一個等差數(shù)列，且 a 2 ＝ 1 ， a 5 ＝－ 5. ( 1 ) 求 { a n } 的通項公式； ( 2 ) 求 { a n } 前 n 項和 S n 的最大值． 解 ( 1 ) 設(shè) { an} 的公差為 d ，由已知條件，得 ????? a1＋ d ＝ 1 ，a1＋ 4 d ＝－ 5 ，解得 a1＝ 3 ， d ＝－ 2. 所以 an＝ a1＋ ( n － 1) d ＝－ 2 n ＋ 5. ( 2 ) 方法一 由????? an≥ 0 ，an ＋ 1≤ 0 ，得????? － 2 n ＋ 5 ≥ 0 ，－ 2 ( n ＋ 1 ) ＋ 5 ≤ 0 ， 解得32≤ n ≤52， ∴ n ＝ 2 ， 即當 n ＝ 2 時，數(shù)列 { a n } 的前 n 項和 S n 取得最大值 ，最大值為 S 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ＝ a 1 ＋ a 1 ＋ d ＝ 4. 方法二 S n ＝ na 1 ＋n ( n － 1 )2d ＝－ n2＋ 4 n ＝ 4 － ( n － 2)2. 所以當 n ＝ 2 時， S n 取得最大值 4. 10 ．已知二次函數(shù) f ( x ) ＝ ax2＋ bx ( a ， b 為常數(shù)，且 a ≠ 0) 滿足條件： f ( x － 1) ＝ f (3 － x ) ，且方程 f ( x ) ＝ 2 x 有等根．是否存在實數(shù) m ， n ( m n ) ，使 f ( x ) 定義域和值域分別為 [ m ， n ] 和 [4 m, 4 n ] ，如果存在，求出 m ， n 的值；如果不存在，說明理由． 解 ①∵ 方程 ax2＋ bx ＝ 2 x 有等根， ∴ Δ ＝ ( b － 2)2＝ 0 ，得 b ＝ 2. 由 f ( x － 1) ＝ f (3 － x ) 知此函數(shù)圖象的對稱軸方程為 x ＝ －b2 a＝ 1 得 a ＝－ 1 ，故 f ( x ) ＝－ x2＋ 2 x . ② f ( x ) ＝－ ( x － 1)2＋ 1 ≤ 1 ， ∴ 4 n ≤ 1 ，即 n ≤14. 而拋物線 y ＝－ x2＋ 2 x 的對稱軸為 x ＝ 1 ， ∴ n ≤14時， f ( x ) 在 [ m ， n ] 上為增函數(shù)． 若滿足題設(shè)條件的 m ， n 存在，則????? f ( m ) ＝ 4 m ，f ( n ) ＝ 4 n ， 即????? － m2＋ 2 m ＝ 4 m ，－ n2＋ 2 n ＝ 4 n?????? m ＝ 0 或 m ＝－ 2 ，n ＝ 0 或 n ＝－ 2. 又 m n ≤14， ∴ m ＝－ 2 ， n ＝ 0 ， 這時定義域為 [ － 2 , 0 ] ，值域為 [ － 8 , 0 ] ． 由以上知滿足條件的 m ， n 存在， m ＝－ 2 ， n ＝ 0. 。 4 ( 不符，舍去 ) ，當m21 ， y m in ＝ 1 － m ＝ － 4 ? m ＝ 5. 綜上知， m ＝ 177。 ( a － λ b ) ＝ 0 ， ∴ (3 λ － 6,2 λ ＋ 1) S △S A D＝112x 3 － x2. ∴ f ( x ) ＝112x 3 － x2，定義域是 (0 ， 3 ) ． ( 2 ) V2＝1122 x2(3 － x2) ≤1122????????x2＋ 3 － x222 ＝1122 123 － x2＝14x 3 － x2. ∵ V ＝ VB — S A D＋ VC — S A D＝13 2 . 當 c 1 － 2 時， f ′ ( c ) 0 ， 函數(shù) f ( c ) 在區(qū)間 ( － ∞ ， 1 － 2 ) 上是減函數(shù)； 當 1 － 2 c 1 時， f ′ ( c ) 0 ， 函數(shù) f ( c ) 在區(qū)間 (1 － 2 ， 1) 上是增函數(shù)； 當 1 c 1 ＋ 2 時， f ′ ( c ) 0 ， 函數(shù) f ( c ) 在區(qū)間 ( 1 , 1 ＋ 2 ) 上是增函數(shù)， 當 c 1 ＋ 2 ， f ′ ( c ) 0 ，函數(shù) f ( c ) 在區(qū)間 (1 ＋ 2 ，＋ ∞ )上是減函數(shù)． 函數(shù) f ( c ) ＝c2＋ 11 － c的圖象如圖所示． 所以 f ( c ) ≥ f (1 － 2 ) ＝－ 2 ＋ 2 2 或 f ( c ) ≤ f (1 ＋ 2 ) ＝－ 2 － 2 2 ， 所以 a 的范圍是 a ≥ － 2 ＋ 2 2 或 a ≤ － 2 － 2 2 . 方法三 ( 函數(shù)思想 ) ：同方法二， 可令 f ( c ) ＝1 ＋ c1 － c－ c ＝－ 2 ＋ (1 － c ) ＋21 － c， 當 1 － c 0 時， f ( c ) ≥ － 2 ＋ 2 ( 1 － c )
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