【正文】 205。a}但對(duì)每一個(gè)x，若xR162。=[a]R162。的一個(gè)分塊，且a∈S162。 R，令S162。反之，若R162。 205。205。因Π162。中有某個(gè)塊S162。由假設(shè)aR162。證明：若Π162。 205。誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系，那么Π162。是非空集合A上的劃分，并設(shè)R和R162。關(guān)系R的等價(jià)類，就是復(fù)數(shù)平面上第一、四象限上的點(diǎn)，或第二、三象限上的點(diǎn)，因?yàn)樵谶@兩種情況下，任意兩個(gè)點(diǎn)(a,b)，(c,d)，其橫坐標(biāo)乘積ac0。u0222。u0222。(3)設(shè)(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，則有ac0217。ac0,因ca=ac0219。(a+bi)R(a+bi)故R在C*上是自反的。ac0,證明R是等價(jià)關(guān)系，并給出關(guān)系R的等價(jià)類的幾何說(shuō)明。 d）如b）所設(shè)，R1和R2是A上的等價(jià)關(guān)系，但 r（R1R2）=（R1R2）∪IA ={＜a,b＞, ＜b,a＞, ＜a,c＞，＜c,a＞，＜a,a＞，＜b,b＞, ＜c,c＞}不是A上的等價(jià)關(guān)系。＜a,c＞∈R12即R12是傳遞的。（$e1）（＜a, e1＞∈R1∧＜e1, b＞∈R1) ∧（$e2）（＜b, e2＞∈R1∧＜e2, c＞∈R1）222。＜b, a＞∈R12即R12是對(duì)稱的。若＜a,b＞∈R12則存在c，使得＜a, c＞∈R1∧＜c,b＞∈R1。 c）若R1是A上等價(jià)關(guān)系，則 ＜a,a＞∈R1222。例如：A={a,b}，R1={＜a,a＞，＜b,b＞}AA={＜a,a＞，＜a,b＞，＜b,a＞，＜b,b＞}（AA）R1={＜a,b＞，＜b,a＞}所以（AA）R1不是A上等價(jià)關(guān)系。a）（AA）R1；b）R1R2；c）R12；d) r（R1R2）（即R1R2的自反閉包）。＜a,a＞∈R所以R在A上是自反的，即R是A上的等價(jià)關(guān)系。＜a, c＞∈R222。 設(shè)R是集合A 上的對(duì)稱和傳遞關(guān)系，證明如果對(duì)于A中的每一個(gè)元素a,在A中同時(shí)也存在b，使a,b在R之中，則R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。=222。③ 設(shè)任意＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，＜w,s＞∈A，對(duì)＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R∧＜＜u,v＞, ＜w,s＞＞∈R222。=222。② 設(shè)＜x,y＞∈A，＜u,v＞∈A，若＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R222。證明 設(shè)A上定義的二元關(guān)系R為：＜＜x,y＞, ＜u,v＞＞∈R219。 G(c) →L(c)①G(c) P（附加前提）②(x)(G(x) →L(x)∨P(x)) P③G(c) →L(c)∨P(c) US②④L(c)∨P(c) T①③I⑤┐P (c) P⑥L(c) T④⑤I⑦G(c) →L(c) CP注意：本題推證過(guò)程中未用到前提($x)(G(x) ∧ S(x))以及S(c)。c：小張。P（x）：x是理工科學(xué)生。設(shè)G（x）：x是大學(xué)生。R（x）：x喜歡騎自行車本題符號(hào)化為： (x)(P(x) →┐Q(x)), (x)(Q(x) ∨R(x)) , ($x) ┐R(x) 222。 ($x)(R(x) ∧I(x))①($x)(Q(x) ∧I(x)) P②Q(c) ∧I(c) ES①③(x)(Q(x) →R(x)) P④Q(c) →R(c) US③⑤Q(c) T②I⑥R(c) T④⑤I⑦I(c) T②I⑧R(c)∧I(c) T⑥⑦I⑨($x)(R(x) ∧I(x)) EG⑧b)設(shè)P（x）：x喜歡步行。I（x）：x是整數(shù)。 ┐(x)P(x) →($x)Q(x)①┐(x)P(x) P（附加前提）②( $x)┐P(x) T①E③┐P(c) ES②④(x)(P(x)∨Q(x)) P⑤P(c)∨Q(c) ES④⑥Q(c) T③⑤I⑦( $x) Q(x) EG⑥⑧┐(x)P(x) →($x)Q(x) CP(3) 解：a)設(shè)R（x）：x是實(shí)數(shù)。 (x)A(x)①( x)(B(x)→┐C(x)) P②B(u)→┐C(u) US①③( x)C(x) P④C(u) US③⑤┐B(u) T②④I⑥(x)(A(x)∨B(x)) P⑦A(u)∨B(u) US⑧A(u) T⑤⑦I⑨(x)A(x) UG⑧(2)證明：a)①( x)P(x) P（附加前提）②P(u) US①③(x)(P(x)→Q(x)) P④P(u)→Q(u) US③⑤Q(u) T②④I⑥(x)Q(x) UG⑤⑦( x)P(x)→(x)Q(x) CPb)因?yàn)?x)P(x)∨($x)Q(x)219。($x) ($u) ($z) (( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(P(u)∧Q(y,z)))前束析取范式219。┐(x)( ┐P(x) ∨Q(x,y)) ∨(($y)P(y)∧($z)Q(y,z))219。($x) (z) (u)(┐P(x) ∨Q(x,z)∨R(x,y,u))前束合取范式219。($x)┐P(x) ∨($x)((z)Q(x,z)∨(u)R(x,y,u))219。(x) (y)( (P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨(P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x))∨ (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x))∨(┐P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x))∨( (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧┐R(y,x))∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x)))前束析取范式c) (x)P(x)→($x)((z)Q(x,z)∨(z)R(x,y,z))219。(x)( ┐P(x) ∨(y)( Q(x,y)→┐R(y,x)))219。┐($x) (P(x)∨Q(x)) ∨($x)(P(x)∨Q(x)) 219。(x)( y) (z) (u) ($v) (┐P(x,y,z) ∨┐Q(x,u)∨Q(y,v))（2）解：a)(($x)P(x)∨($x)Q(x))→($x)(P(x)∨Q(x))219。(x)( y)( (z)┐P(x,y,z) ∨(u)┐Q(x,u)∨($v)Q(y,v))219。($x) ($y) (z) ( P(x,y) ∨┐Q(z) ∨R(x))c)(x)( y)((($zP(x,y,z)∧($u)Q(x,u))→($v)Q(y,v))219。($x)(($y)P(x,y) ∨(┐($z)Q(z) ∨R(x)))219。(x) ($y) (┐P(x) ∨Q(x,y))b) ($x)(┐(($y)P(x,y))→(($z)Q(z)→R(x)))219。 ( $x)P(x)→(y)Q(y) 習(xí)題26（1）解：a)(x)(P(x)→($y)Q(x,y))219。(x) ┐P(x) ∨( y)Q(y)219。 ( $x)P(x)→(y)Q(y)證明：(x)( y)(P(x)→Q(y)) 219。( x)(A(x)∨B(x))（6）解：推證不正確，因?yàn)椹?$x)(A(x)∧┐B(x))219。(A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c))219。(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c))219。 (x)A(x)→($x) B(x)（5）設(shè)論域D={a，b，c}，求證(x)A(x)∨(x)B(x)222。 ($x)┐A(x)∨ ($x) B(x) 219。（4）證明：($x)(A(x)→B(x))219。前提 對(duì)所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動(dòng)員。e）設(shè)P（x）：x是研究生。前提 對(duì)所有x，或者x是研究生，或者x是運(yùn)動(dòng)員。d）設(shè)P（x）：x是研究生。對(duì)所有x，如果x曾讀過(guò)大學(xué)，則x曾讀過(guò)中學(xué)。R（x）：x曾讀過(guò)中學(xué)。c）設(shè)P（x）：x是研究生。結(jié)論：對(duì)論域中所有x都是研究生。前提：對(duì)論域中所有x，如果x不是研究生則x是大學(xué)生。Q（x）：x是大學(xué)生。Q（x）：x是運(yùn)動(dòng)員前提 或者不存在x，x是大學(xué)生，或者a是運(yùn)動(dòng)員結(jié)論 如果存在x是大學(xué)生，則必有a是運(yùn)動(dòng)員。249。Q(a) 222。Q(a)故原式為249。249。 (x)Q (x)解：a）因?yàn)?49。Q(x)), (x) 249。P(x)222。R(x))d) (x) (P(x) 218。R(x))222。P(a)c) (x) (P(x) 174。Q(x)), (x) 249。Q(a)b) (x) (249。 ($x)P(x)174。a) 249。 (F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F)) 219。 (x) (P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))219。Fd) (x)( $y)(P(x)∧Q(x,y)) 219。 (P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1)) 219。Tc) ($x)(P(x)∧Q(x,a))219。 (P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1))219。 (F→F)∧(T→T) 219。(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))219。F∧F∧T∧T219。 (P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1)) 219。 (x) ((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2) →P(f(x)f(2))))219。 (T∨F)∧(T∨F) 219。(x) (P(1,x)∨P(2,x))219。T∧F219。P(1,f(1))∧P(2,f(2))219。 ((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F219。b) (x)(P→Q(x))∨R(a)219。(T∨F)∧(F∨T) 219。(2) 解：a) P(a)∧P(b)∧P(c) b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c) c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c) d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c)) e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))(3) 解：a) (x)(P(x)∨Q(x))219。 c) x，y都是約束變?cè)?P(x)中的x受$的約束，R(x)中的x受的約束。則 P(f,a)D((ε)($δ)(x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|xa|)→Q(ε,|f(x)f(a)|))))習(xí)題24(1) 解：a) x是約束變?cè)瑈是自由變?cè)?。則有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)（7）解：設(shè)P(x,y):x在y連續(xù)。 a:這本。 K(y):y是厚的。 R(x,y):x在看y。 E(x):x是戴眼睛的。 S(x,y):y是x的后繼數(shù)。z,yz)（4）解：設(shè)G(x,y):x大于y。G(x,y):x大于y。Q(x,y):y大于x。 F(y):y是乘積中的一個(gè)因子。 z(y):y為0。h）對(duì)所有的x，若x是奇數(shù)，則對(duì)所有y，y是質(zhì)數(shù)，則x不能除盡y（即任何奇數(shù)不能除盡任何質(zhì)數(shù)）。f）對(duì)所有的x，若x是偶數(shù)，則對(duì)所有的y，若x能除盡y，則y也是偶數(shù)。d）存在x，x是偶數(shù)，且x能除盡6。b）2是偶數(shù)且2是質(zhì)數(shù)。172。則（$x）（S（x）217。L（x）：x 是運(yùn)動(dòng)員。 （$y）（J（y）217。A(x,y)：x欽佩y。C（x））k） L（x）：x 是運(yùn)動(dòng)員。則有（$x）（W（x）217。J（x）：x是教練。C（x）217。則有 172。H（x）：