【正文】 R)(主析取范式)54。216。 (216。216。P217。R) 218。P217。R) 218。Q217。(P217。216。 (P217。Q217。(P217。Q217。216。216。R) 218。P217。 (Q217。P217。 (Q217。216。216。R) 218。Q217。R) 218。216。R)218。Q)=(P217。P217。 (R217。216。 (R217。P217。 (R217。P217。R)218。P217。 (Q217。216。 (Q217。P217。 (Q217。P217。R)218。Q217。(P217。216。 (P217。Q217。(P217。Q217。216。 P) 217。(P218。R)) 218。(R218。216。(Q217。216。 Q) 217。(Q218。Q218。Q218。R)))=P218。(Q218。R)))=P218。(216。P174。Q （主合取范式）(2) P218。P)=216。(216。P218。(Q217。P) (主析取范式)=216。Q) 218。P217。Q) 218。P)=(216。Q)) 218。(Q218。P)=(216。P218。 Q217。P218。P218。216。(216。Q)217。解：(1) P174。Q174。(Q218。(216。216。(216。Q)217。Q) (析取范式) 5. 試將下列公式化為主析取范式和主合取范式：(1) P174。 (P 217。P 217。216。((P218。216。Q) (合取范式) =((P218。P218。Q) 217。216。 (216。216。(216。( P217。Q)) =(P218。P217。Q) 218。P218。Q)) 217。Q) 218。 (P218。Q) 174。Q)) 217。Q) 174。Q) =(216。Q)171。Q (合取、析取范式)b) 216。(P217。216。P218。Q) =P217。Q)解：a)P217。Q)171。Q) b) 216。 4. 試將下列公式化為析取范式和合取范式： a) P217。這與Gi恒真矛盾。若不然，假設(shè)Gi恒真，但每個原子和其否定都不同時出現(xiàn)在Gi中。Gn 若公式G恒真，則G’恒真，即子句Gi；i=1,2,…n恒真為其充要條件。G2217。3. 證明： 命題公式G是恒真的當(dāng)且僅當(dāng)在等價于它的合取范式中，每個子句均至少包含一個原子及其否定。所以G與H不等價。則必然存在一個極大項Mi在G’中而不在H中（或相反），則取一解釋I使Mi取0值，即使公式G取0值。 任意取兩個命題公式G、H是關(guān)于P1，…，Pn的兩個主合取范式。對其它非極大項也做同樣處理，得到等價于G的主合取范式G’’。…217。216。…218。216。則可以通過如下方式擴展G’iG’i= G’i218。）由定理1知對于命題公式G，存在與它等價的合取范式G’,設(shè)G中的不同原子為P1，…，Pn。定義7：設(shè)命題公式G中所有不同原子為P1，…，Pn，如果G的某個合取范式G’中的每一個子句，都是關(guān)于P1，…，Pn的一個極大項，則稱G’為G的主合取范式。 并證明： 對任意命題公式，存在唯一一個與其等價的主合取范式。 (Q 218。216。 (Q 218。 ( P218。Q)218。216。( P 218。 (P 218。R) =((P218。P217。Q)218。P217。R))) 218。 (P 218。R) =((P218。P217。Q)218。P217。R)))218。Q218。P217。216。證明：原式=((P218。216。(216。216。(216。216。(216。(216。Q)217。S 規(guī)則17)S 規(guī)則2，根據(jù)5),6)8) P174。Q218。P218。S。R，R174。Q，216。Q) 規(guī)則2，根據(jù)5),9){216。R 規(guī)則19) R 規(guī)則2，根據(jù)7),8)10) R217。P174。P 規(guī)則2，根據(jù)2),3)5) P218。P 規(guī)則2，根據(jù)1)3) 216。M174。證明：1) P174。(P218。M，216。Q，Q174。S) 規(guī)則17) R218。B)174。B) 規(guī)則2，根據(jù)3),4)6) (A217。B) 規(guī)則15) (A217。(A217。H 規(guī)則2，根據(jù)1),2)4) 216。216。D 規(guī)則12) (C218。S。(R218。216。216。H174。216。D，(C218。P))為假，得證。(P217。P))174。(P217。P)為真。(P217。216。Q)為假，則Q為假，R為真，則R174。(R174。216。(R174。216。Q證明也可）(7) (Q174。R)為假，得證。216。Q)174。216。P)174。R為假，而(P218。216。R)證明：若(Q174。R)222。216。Q)174。216。Q)=(P218。(Q 218。 Q=(P218。 216。 Q) 218。 (216。Q)174。P218。Q)174。Q為假，(后件假推出前件假等價于前件真推出后件真)得證。Q為假，P為真。(P217。(P217。Q222。R)=T 得證。Q217。216。216。R)=(P217。Q)174。R)) 174。R)證明：(P174。Q)174。R))222。P)出發(fā))(3) (P174。(216。Q=T 命題得證。P218。P)=216。(216。P)=216。P)證明：同a)，P174。Q))(2)P222。Q，Q222。(或從P217。 (P174。Q=T即：(P217。216。Q)=216。 (216。216。Q)=(216。 (216。 (P217。 (P174。Q)恒真，則：(P217。Q) 174。(P174。：(1)(P217。R)。G}出發(fā)可演繹出公式(R217。216。216?！?17。216。G) 174。 Gn217。G恒假，也就是(G1217。 Gn217。 G恒真，那么對上式取非有G1217?！?17。G恒真，即216。…217。 Gn )=G，因此有{G1，…，Gn}蘊涵G。G恒真，則有(G1217?！?17。 Gn）218。（G1217。G恒假。 Gn217。R)恒假，則G1217。R)，因(R217。G=(R217。 Gn217。R)，可有G1217。G}=(R217。其中R為任意公式。216。證明：從{G1，…，Gn}出發(fā)可演繹出公式G的充要條件是從{G1，…，Gn，216。 Gn=G，因此由蘊涵定義有G必為恒真公式。 Gn是恒真的，而由已知有：G1217。證明：設(shè)S是由G1，…，Gn構(gòu)成的，則G1，…，Gn是恒真的，那么G1217。因此蘊涵關(guān)系有傳遞性。如果I滿足P則I也滿足Q，若I滿足Q則I滿足R。Q恒真，得出P=Q，所以蘊涵關(guān)系有反對稱性。（Q174。P恒真，則（P174。b)任取兩個命題公式P，Q如果P=Q 并且Q=P，則有P174。證明：a)任意設(shè)一公式P,由于P174。而I使所有不等于mk的極大項都為1，則可有G的主合取范式G’’在I下取1值，即G在I下取1值，這與G=H矛盾。反證法：若不然，假設(shè)H中有一個極大項mk不在G的主合取范式中。2) 任意設(shè)公式H是S的一個邏輯結(jié)果，H是一些極大項的合取。即使每一個極大項都取1值?！?17。現(xiàn)在證明：1) S=H，即G=H。則從S出發(fā)的演繹出來的的所有命題公式正是從這m個極大項中任取n(0≤n≤m)個合取組成，共有2m個，其中包括恒真公式這里用1表示。而G有唯一一個與其等價的主合取范式，設(shè)為G’’。…217。解：任設(shè)一公式G’為從S出發(fā)演繹出來的公式?！?17。試求出在不增加新原子的情況下從S出發(fā)演繹出的所有命題公式。R) 174。R) 218。 Q =216。 216。 Q) =(216。 (216。P218。 Q218。 R =216。216。P218。 Q218。 Q =T 可有：左邊=右邊，得證(3)證明：左邊= 216。216。(P174。Q =T 右邊=216。P218。 P = P218。 216。 P) = 216。 (216。P) = 216。(2) 證明：左邊= P174。 (Q 217。P218。R)=R217。R) 218。R) 218。R)=(216。R) 218。P218。(P217。Q) 217。Q) 217。R)=((216。 R)) 218。P218。Q)) 217。Q) 217。R)=((((216。 R) )218。Q217。P217。Q) 217。Q217。P217。(P217。(Q217。Q217。P217。R)174。(R174。R)(4) (P174。Q)218。(Q218。(P174。P)=216。R)=R(2) P174。R)218。R))218。(216。 ：(1) (216。216。Q) 218。(216。P)) =( P217。Q) 217。P218。Q) 218。Q174。Q) 217。 ((P174。Q) =(P217。(P171。216。(4) G=(216。P217。Q) 217。(216。P217。 P) 217。Q) =(216。(216。(3) G=(Q174。P218。Q218。( P217。P)) =216。(P217。R)，其真值表如下：PQRGPQRG00011000001010100100110001101111因此G是可滿足的。Q217。P 217。R) 218。R))=( P217。R)217。((216。216。P218。R)) 218。( P217。P217。216。216。P218。Q)217。 ((216。Q217。P)218。R)=((216。Q217。R)) 217。P218。R)) 218。( P217。P217。216。216。(Q217。 ((216。R)) 217。P218。216。 (216。R)) 217。P218。216。(216。(216。(Q217。Q)。(P171。216。Q)；d) (216。(216。P))； c) (Q174。(P217。216。(216。(216。(Q217。Q）是恒真的。（216。Q同真同假，由定義知（P174。 Q與216。Q為假。 Q為假時216。P218。若I使P174。P218。Q為真，也就是說P174。Q為真，若I使P和Q同時為真，則Q為真，此時216。P，此時216。 Q的任意解釋I，若I使P174。Q）是恒真的。（216。證明（P174。P218。3. 對P和Q的所有值，證明P174。216。216。（P217。 R ）(4)（P171。R）174。 Q）217。P218。 Q）174。 Q）174。 R，其真值表如下：PQRGPQRG000110010010101001011101011111112. 指出下列公式哪些是恒真的哪些是恒假的：(1)P217。 Q218。 Q）174。 P217。 R，其真值表如下：PQRGPQRG00001001001010110101110101101110（4）設(shè)G=（（216。