【正文】 所以，對(duì)兩個(gè)公式使用 EI 規(guī)則使用同一個(gè)個(gè)體常項(xiàng)是會(huì)犯錯(cuò)誤的。其實(shí)在（ 6）中，③應(yīng)為 F(2)∧ G(2)，它是真命題，而 H(2)∧ R(2)為假命題。 分析 由于⑤的錯(cuò)誤，可能由真前提，推出假結(jié)論。 36 （ 6）⑤錯(cuò)。 （ 5）②錯(cuò)。 （ 4）②錯(cuò)。①中公式為 ? xA(x)，這時(shí)， A(x)=F(x)∨ G(x)，因而使用 UI 規(guī)則時(shí)，應(yīng)得 A(a)（或 A(y)），故應(yīng)有 F(a)∨ G(a),而不可能為 F(a)∨ G(b). （ 3）②錯(cuò)。使用 UI， UG， EI， EG 規(guī)則應(yīng)對(duì)前束范式 ，而①中公式下不是前束范式，所以，不能使用 UI 規(guī)則。 2． 15 （ 1） ? xF(x)∨ ? yG(x,y) ?? xF(x)∨ ? yG(z,y) ?? x? y(F(x)∨ G(z,y)) （ 2） ? x(F(x)∧ ? yG(x,y,z))→ ? zH(x,y,z) ?? x(F(x)∧ ? yG(x,y,u))→ ? zH(v,?,z) ?? x? y(F(x)∧ G(x,y,u))→ ? zH(v?, ,z) ?? x? y(F(x)∧ G(x,y,u))→ H(v?, ,z) 在以上演算中分別使用了自由變項(xiàng)換名規(guī)則和量詞轄域收縮擴(kuò)張等值式。 分析 公式的前束范式是不唯一的。G(x,z2) 在以上演算中分別使用了德G(x,z2) ?? z1? z2(172。G(x,y) 35 ?? z1172。(? xF(x,y)∨ ? yG(x,y)) ?? x172。F(z)→ ? yG(x,y) （約束變項(xiàng)換名規(guī)則） ?? z? y(172。? xF(x)→ ? yG(x,y) ?? x172。 （ 2） ? x(R(x)→ F(x))∨ G(5) ? ((R(?2)→ F(?2))∧ (R(3)→ F(3))∧ (R(6)→ F(6)))∨ 0? ((1→ 1)∧ (1→ 1)? 0, 所以，此公式在 I 下也是假命題。見下面的演算： ? x(F(x)∧ ? yG(y) ? (F(a)∧ ? yG(y))∧ (F(b)∧ ? yG(y))∧ F(c)∧ ? yG(y)) ? (F(a)∧ (G(a)∨ G(b)∨ G(c) ∧ (F(b)∧ (G(a)∨ G(c)) ∧ (F(c)∧ (G(a)∨ G(b)∨ G(c)) ? (F(a)∧ (F(b)∧ (G(a)∨ G(b)∨ (c)). 顯然這個(gè)演算比原來的嚳算麻煩多了。 （ 1） ? xF(x)→ ? yG(y) ? (F(a)∧ F(b)∧ F(c)→ (G(b)∨ G(c)). （ 2） ? xF(x)∧ ? yG(y) ?? xF(x)∧ ? yG(y) （量詞轄域收縮擴(kuò)張等值式） ? (F(a)∧ F(b)∧ F(c))∧ (G(a)∨ G(b)∨ (c)). （ 3） ? x? yH(x,y) ?? x(H(x,a)∧ H(x,b)∧ H(x,c) ? (H(a,a)∧ H(a,b)∧ H(x,c) ∨ (H(b,a)∧ H(b,b)∧ H(b,c) ∨ (H(c,a)∧ H(c,b)∧ H(c,c) 分析 在有窮個(gè)體域內(nèi)消去量詞時(shí)，應(yīng)將量詞的轄域盡量縮小，例如，在（ 2）中，首先將量詞轄域縮小了（因?yàn)?? yG(y)中不含 x，所以，可以縮小）。”與“并不是北京人都去過香山。? x(F(x)→ G(x)) （蘊(yùn)含等值式） 33 最后得到的公式滿足要求（只含全稱量詞），將它翻譯成自然語(yǔ)言，即為 “并不是北京人都去過香山。F(x)∨ G(x)) （ 德G(x)) （理詞否定等值式） ? 172。? x172。? x(F(x)∧ 172。G(x)) ? 172。 命題直接符號(hào)化為 ? x(F(x)∧ 172?！笔峭幻}的兩種不同的敘述方法。 可見得“沒有人長(zhǎng)著綠色頭發(fā)。摩根律） ?? x(F(x)→ 172。F(x)∨ 172。? x(F(x)∧ G(x)) ?? x172。 本命題直接符號(hào)化驗(yàn)為 172。A(x) （消去量詞等值式） 2． 11 （ 1） 令 F(x):x 為人。A(c) （德A(a)∧ 172。? xA(x)? 172。摩根律） ?? x172。A(b)∨ 172。(A(a)∧ A(b)∧ A(c)) （消去量詞等值式） ? 172。 2． 10 （ 1） 172。 當(dāng)然非閉式也可以是邏輯有效式（如 F(x)→ F(x)），也可能為矛盾式（如 F(x)∧ 172。 在 I 下， A2 為 ? x(x+y=x),當(dāng) y=0 時(shí)，它為真； y≠ 0 時(shí)為假，在 I 下 A2 的真值也不確定。 取 解 釋 I 為 ， 個(gè) 體 域 D=N （ N 為 自 然 數(shù) 集 合 ）， f(x,y,)=x+y,g(x,y)=x?yL(x,y)為 x=y。而非封閉的公式就沒有這個(gè)特征。” 這是假命 題。” 這是真命題。 令 A=? x? y(F(x)∧ G(y)→ L(x,y)),在 A 中，無(wú)自由出現(xiàn) 的個(gè)體變項(xiàng)，所以 A 為閉式?！? 由于蘊(yùn)含式的前件為真，后件為假，后以真值為假。”因?yàn)樘N(yùn)含式的前件為真，后件為假，所以真值為假。 2． 7 給定解釋 I 為：個(gè)體域 D=N（自然數(shù)集合）， F(x):x 為奇數(shù)， G(x):x 為偶數(shù)。 （ 3） ? x? y? z(xy)→ (x?zy?z))。 2． 6 在解釋 R 下各式分別化為 （ 1） ? x(?x0)。 分析 本題說明 ? x(F(x)→ G(x))?? x(F(x)∧ G(x)), 30 ? x(F(x)∧ G(x))?? x(F(x)→ G(x)), 這里， A? B 表示 A 與 B 不等值，以后遇到 ? ，含義相同?！? 取 x= 2，則 F( 2)∧ g( 2)顯然為假，所以，在 I1 下， ? x(F(x)∧ G(x))為假命題 . (2) 取解釋 I2為 :個(gè)體域 D=N(自然數(shù)集合 ), F(x):x為奇數(shù) , G(x):x為偶數(shù) ,在 I2下 ,? x(F(x)∧ G(x))的含義為 “存在自然數(shù) x,x 發(fā) 既為奇數(shù)，又為偶數(shù)?！痹诖颂N(yùn)含式中，當(dāng)前件 F(x)為真時(shí)，后件 G(x)也為真，不會(huì)出現(xiàn)前件為真，后件為假的情況，所以在 I1 下， ? x(F(x)→ G(x))為真命題。 （ 7）對(duì)于所有的 x 和 y，存在著 z，使得 x?y=z，在 (a),(b)中為真命題，在 (c)(d)中為假命題。 （ 5）對(duì)所有的 x，存在著 y，使得 x?y=x 在 (a),(b)(c)(d)中都是真命題。 29 （ 3）對(duì)所有 x，存在著 y，使得 x?y=1，在 (a),(b)(c)中均為假命題，而在 (d)中為真命題。 1）對(duì)所有的 x，存在著 y，使得 x?y=0，在 (a),(b)中為真命題，在 (c),(d)中為假命題。? x(F(x)→ G(x)), 或 ? x(F(x)∧ 172。? x(F(x)∧ 172。 28 2． 3 因題目中未給出個(gè)體域，因而應(yīng)采用全總個(gè)體域。 在個(gè)體域?yàn)槿倐€(gè)體域時(shí)，應(yīng)符號(hào)化為 ? x(F(x)→ G(x)) 這里， F(x):x 為人，且 F(x)為特性謂詞。 有的命題在不同個(gè) 體域中，符號(hào)化的形式不同，考慮命題 “人都呼吸”。命題的真值與個(gè)體域有關(guān)。 （ 3）在 (a),(b),(c)中均符號(hào)化為 ? xH(x) 其中 H(x):5x= (a),(b)中均為假命題，在 (c)中為真命題。 (1)d (a),(b),(c)中均符號(hào)化為 ? xF(x) 其中 F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命題在 (a),(b),(c)中均為真命題。 3176。若使用∧，使（ 1）中命題變成了“宇宙間的一切事物都是鳥并且都會(huì)飛翔。將（ 1）中命題敘述得更透徹些，是說“對(duì)于宇宙間的一切事物百言，如果它是鳥，則它會(huì)飛翔。 2176。如果沒指出要求什么樣的個(gè)體域，就使用全總個(gè)休域，使用全總個(gè)體域時(shí)，往往要使用特性謂詞。? x(F(x)∧ 172。? x(F(x)→ G(x)) 或者 ? x(F(x)∧ 172。A∧ (B∨ C))∨ (A∧ 172。C)∨ (172。A∧ (B∨ C))∨ (A∧ 172。B∨ C)∧ (B∨ 172。C)∨ (B∧ C)) ? (172。C)) ∨ A∧ ((172。A ∧ ((172。B ∧ 172。A∧ B∧ 172。A∧ 172。 1． 22 答案 A：④ 分析 在本題中，設(shè) A， B， C 分別表示 3 個(gè)開關(guān)狀態(tài)的命題變項(xiàng)，開關(guān)的扳鍵向上時(shí)，對(duì)應(yīng)命題變項(xiàng)的真值為 1，否則為 0，由真值表易知。p∨ q 前提引入 ② p→ q ①置換前提引入 ③ 172。q 是（ 2）的國(guó)邏輯結(jié)論。q ⑤置換 至此可知 172。(p∧ q) ④置換 ⑥ 172。s 前提引入 ③ 172。 （ 2） ① 172。p ③⑤析取三段論 至此可知 172。q) 前提引入 ⑤ 172。q ①② 析取三段論 24 ④ 172。q∨ r 前提引入 ② 172。 1． 21 答案 A：③； B：⑤； C：⑥ 分析 可用構(gòu)造證明法解此題。 方法 2：求主合取范式，分析類似主析取范式法。極小項(xiàng)角碼的二進(jìn)制表示為成真賦值，因而成真賦值為 001， 011， 101， 110， 111。q)∧ r ? m1∨ m3∨ m5∨ m6∨ m7 從上式可知， 172。r)∨ (p∨ 172。 方法 1： 求主析取范式 172。r) ? m2∨ m4∨ m5∨ m6∨ m7 所以，成真賦值為 010， 100， 101， 110， 111，由④給也，成假賦值為 000， 001， 011，由③給出，公式是非重言式的可滿足式，由③給出。q ③④拒鄧式 ⑥ q ⑤置理 1． 19 本題可以用多種方法求解，根據(jù)要求回答問題，解本題最好的方法是真值表示或主析取范式法。q→ p 前提引入 ⑤ 172。r 前提引入 ③ 172。r 結(jié)論 q 通過對(duì)前提和結(jié)論的觀察，知道推理是正確的，下面用構(gòu)造證明法給以證明。(A1∧ A2∧ L∧ Ak∧ C)∨ B ? A1∧ A2∧ L∧ Ak∧ C→ B 所以 ,當(dāng)推理的結(jié)論也為蘊(yùn)含式時(shí) ,可以將結(jié)論的前件作為推理的前提 ,稱為附加前提 ,并稱使用附加前提的證明方法為附加前提證明法 .(3)中第一個(gè)證明 ,即為附加前提證明法 . 設(shè) p：他是理科生 q：他是文科生 r：他學(xué)好 數(shù)學(xué) 前提 p→ r,172。(A1∧ A2∧ L∧ Ak)∨ (172。p∨ q) ②置換 ④ 172。p ∨ q ①置換 ③ (172。p ②⑤析取三段論 （ 2） 證明 ① p→ (q→ s) 前提引入 ② q→ (q→ s) ①置換 ③ q 前提引入 ④ p→ s ②③假言推理 ⑤ p∨ 172。q) 前提引入 ⑤ 172。q ①②析取三段論 ④ 172。q∨ r 前提引入 ② 172。