【正文】 考慮系統(tǒng)x1=x2 x2=a1x1a2x2bu ()取等速趨近律s=ε?sgns ε0 。如果選定切換面s=CTx=0,由此可得s=CTx，讓s=CTx等于上述趨近律之一，便可求得相應(yīng)的變結(jié)構(gòu)控制，從而保證正常運(yùn)動(dòng)段的某種品質(zhì)。 等速趨近律：s=ε?sgns ε0 指數(shù)趨近律：s=ε?sgnsks ε0 k0 冪次趨近律：s=k|s|asgns k0 1a0 一般趨近律：s=ε?sgnsf(s) 其中f0=0，當(dāng)s≠0時(shí)，有sfs0?；瑒?dòng)模態(tài)的品質(zhì)，由滑動(dòng)模態(tài)微分方程決定，而正常運(yùn)動(dòng)段的品質(zhì)，則需要我們?cè)龠M(jìn)一步改善。動(dòng)態(tài)過(guò)程的品質(zhì)，決定于這兩個(gè)運(yùn)動(dòng)段的品質(zhì)。變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，由兩個(gè)階段組成。因此，在簡(jiǎn)單系統(tǒng)低要求條件下，滑?？刂频膬?yōu)勢(shì)難以體現(xiàn)。抽水設(shè)備在大型的工業(yè)場(chǎng)合或水庫(kù)是常用的，但在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下，無(wú)抽水設(shè)備的情況下，將控制器輸出的下限改為0，再看二階水箱系統(tǒng)輸出曲線： 比例切換控制輸出 可以看到，輸出曲線在穩(wěn)態(tài)誤差和調(diào)節(jié)時(shí)間方面依然保持了很好的特性，但其超調(diào)量已經(jīng)很大了，達(dá)到了70%左右。 另外，在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中，使用的電機(jī)是單向轉(zhuǎn)動(dòng)的，而且沒(méi)有配置抽水設(shè)備，因此，實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中的控制器輸出的下限值為0，而不是某個(gè)負(fù)值。所以，在追求更好的系統(tǒng)性能的時(shí)候，我們還要考慮到實(shí)際設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制器的輸出能力。 二階系統(tǒng)比例切換控制控制器輸出 ，容易發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的提升一定程度上是以提高控制器輸出頻率和幅值來(lái)實(shí)現(xiàn)的[2]。保持已設(shè)計(jì)的比例切換控制器的參數(shù)及輸入量不變，得到的輸出曲線也明顯改善了。但如若在一些高精行業(yè)生產(chǎn)中，需要對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)及動(dòng)態(tài)性能有苛刻的要求，就要仔細(xì)選取切換面，通過(guò)嚴(yán)格計(jì)算得到相關(guān)參數(shù)。所以。在此切換面已確定的前提下，使用比例切換控制器進(jìn)行控制。如果更改滑?？刂魄袚Q面，即更改切換面的參數(shù)C，得到的系統(tǒng)很有可能會(huì)在動(dòng)態(tài)性能方面有一定的提升。前面在介紹滑模變結(jié)構(gòu)控制的幾百年理論時(shí)曾經(jīng)提到，切換的面的選取直接關(guān)系到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。因此，得到的系統(tǒng)事實(shí)上還可以進(jìn)一步優(yōu)化。接下來(lái)，就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。這即是滑?？刂葡到y(tǒng)抖振的一種外在表現(xiàn)。 比例切換控制系統(tǒng)輸出 由圖發(fā)現(xiàn)比例切換控制基本可以消除靜差，并且很大程度抑制了超調(diào)。 常值切換控制系統(tǒng)輸出可以看出，雖然選擇了較簡(jiǎn)單的切換函數(shù)，對(duì)于三容水箱系統(tǒng)，常值切換滑?？刂埔廊挥泻芎玫目刂菩阅?，有效地消除了系統(tǒng)靜差，并且很好的抑制了超調(diào)量。設(shè)置輸入為幅值等于30的階躍函數(shù)。即以位置誤差值e以及速度誤差e作為狀態(tài)變量。其中切換函數(shù)s=C1e+C2e+e的輸出效果略好，但求取較為復(fù)雜[1,3,5]。用這兩種方法作用于某三容水箱，進(jìn)一步探討常值切換控制與比例切換控制的控制對(duì)高階系統(tǒng)的控制效果。 比例切換控制控制器輸出局部放大圖 三容水箱液位控制系統(tǒng)探討 從上面章節(jié)的討論，不難看出，滑模變結(jié)構(gòu)控制可以對(duì)雙容水箱有較好的控制效果。下圖是比例切換滑模控制器輸出曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)候控制器輸出的局部放大圖。與傳統(tǒng)的控制器（如PID控制器）不同，滑模控制器的輸出受滑動(dòng)面抖動(dòng)的影響，即使系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)控制器輸出曲線仍然會(huì)有震動(dòng)，而不像傳統(tǒng)的控制器的輸出是平滑的。比例切換系統(tǒng)的輸出相比較于常值切換控制的控制器輸出而言，更能夠被工業(yè)系統(tǒng)接受。因?yàn)橥耆珱](méi)有振蕩的理想滑動(dòng)模態(tài)，所以相對(duì)于一般的滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)的振蕩完全在合理的范圍以?xún)?nèi)。所以從穩(wěn)態(tài)或靜態(tài)特性方面考慮，比例切換控制也達(dá)到了很好的效果。動(dòng)態(tài)特性方面，% ，比常值切換控制的超調(diào)略大，振蕩很小。 比例切換控制子系統(tǒng)simulink仿真圖同樣設(shè)定系統(tǒng)輸入量r為30，對(duì)該控制系統(tǒng)施加幅值為30的階躍信號(hào)，得到的系統(tǒng)響應(yīng)曲線如下。不妨取α=500，β=10。下面，再來(lái)看比例切換控制設(shè)計(jì)方法的效果。這樣的高頻輸出不僅要求控制器有極大的控制精度和控制頻率， 常值切換控制器輸出（局部）大了控制器的損耗。 從以上的分析來(lái)看，常值切換控制是很好的滿(mǎn)足了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)要求。這與滑模運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是相符合的。 下面，再來(lái)看系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相曲線。而且上升到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間很短，較原系統(tǒng)而言，調(diào)節(jié)時(shí)間大大縮短了。 常值切換控制輸出仿真圖 從該系統(tǒng)響應(yīng)輸出圖可以看出，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)輸出在穩(wěn)態(tài)特性方面是無(wú)靜差的，嚴(yán)格跟蹤輸入信號(hào)量的幅值，改善了原系統(tǒng)存在靜差的狀況。在常值切換控制系統(tǒng)中，SMC controller為滑模控制器子系統(tǒng)。 這樣，就得到了控制函數(shù)u=100?sgn(+e) ()利用SIMULINK搭建系統(tǒng)。 在實(shí)際系統(tǒng)中，系統(tǒng)的控制器輸出是有一定限度的，如閥門(mén)的開(kāi)度、電機(jī)的轉(zhuǎn)速等，不妨將u0設(shè)置成為系統(tǒng)控制器環(huán)節(jié)的輸出最大值umax。但為了系統(tǒng)有較理想的動(dòng)態(tài)特性，結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，取c=，則s=+e[4,9,15]。所以，改變一下策略，采用系統(tǒng)的輸入、輸出量的位置誤差值e以及速度誤差(即位置誤差e的導(dǎo)數(shù))e作為狀態(tài)變量。采用能控標(biāo)準(zhǔn)型變換。 以上兩種方法是常規(guī)變結(jié)構(gòu)控制的典型方法，下面就用上述兩種方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。 (2)比例切換控制u=i1kψixi knψi=αi xis0βi xis0 ()其中，αi、βi為常數(shù)[2,3,4]。在我目前的知識(shí)體系的框架下，做出更加有效的滑?？刂圃O(shè)計(jì)方案十分困難，所以，這里采用目前成熟的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行該系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。但當(dāng)對(duì)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能沒(méi)有具體的要求的時(shí)候，C的范圍是有較大范圍變動(dòng)的，一般K0條件下的C陣都是滿(mǎn)足條件的都是滿(mǎn)足穩(wěn)定條件的。具體的K值要根據(jù)Λ的設(shè)定值來(lái)看。 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性變換，即變換基底x1x2→x1s ()其中滿(mǎn)足x1=x1 x2=C21sC21C1x1 ()則系統(tǒng)（）改寫(xiě)為x1=A11A12C21C1x1+A12C21s ()因此s=C1A11+C2A21C1A12+C2A22C21C1x1 +C1A12+C2A22C21s+C2B2u ()那么，在子空間s=0上有s=C1x1+C2x2=0s=C1x1+C2x2=0故，在s=0上x(chóng)1=A11A12C21C1x1 ()ueq=(C2B2)1C1A11+C2A21C1A12+C2A22C21C1x1 ()式（）即為滑動(dòng)模態(tài)方程，式（）為等效控制。 用極點(diǎn)配置法求取C矩陣，目的是要使最終滑動(dòng)模態(tài)具有預(yù)先給定的極點(diǎn)集Λ={λi,i=1,2…nm} ()此極點(diǎn)集應(yīng)滿(mǎn)足極點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，即復(fù)極點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)。保證在超平面s=0上的每一點(diǎn)存在滑動(dòng)模態(tài)，則該平面為滑動(dòng)面；（3）控制必須讓狀態(tài)進(jìn)入滑動(dòng)面。使得：滑動(dòng)模態(tài)存在；滑動(dòng)模態(tài)具有穩(wěn)定的、符合期望的性質(zhì)；從狀態(tài)空間的任意一點(diǎn)出發(fā)，系統(tǒng)均能進(jìn)入滑動(dòng)面[4]。相互交織，是滑?？刂圃O(shè)計(jì)的特點(diǎn)。而按存在條件求得的控制，也是一個(gè)范圍，必須考慮進(jìn)入條件，才能最終確定。一般而言，按照穩(wěn)定條件選擇切換面，即選擇系數(shù)矩陣C,所選擇的C中的各個(gè)量Ci是一個(gè)范圍，其值不能最終確定下來(lái)。 對(duì)于本設(shè)計(jì)系統(tǒng)而言，系統(tǒng)為單輸入系統(tǒng)，即該系統(tǒng)為一個(gè)標(biāo)量系統(tǒng)。 通過(guò)對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行分析，確定滑模便結(jié)構(gòu)控制器的基本方向如下：(1) 設(shè)計(jì)后的系統(tǒng)地超調(diào)量盡可能減??；(2) 系統(tǒng)無(wú)靜差，嚴(yán)格跟蹤輸入量；(3) 調(diào)節(jié)時(shí)間盡可能縮短；(4) 在滿(mǎn)足上述條件前提下盡可能削弱抖震。從測(cè)得的參數(shù)不難看出系統(tǒng)的超調(diào)量雖然偏大，動(dòng)態(tài)特性勉強(qiáng)符合要求，但由于系統(tǒng)存在的靜差，并且誤差較大，那么在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中就很難符合工藝要求。 下面再看系統(tǒng)的閉環(huán)曲線。從開(kāi)環(huán)階躍曲線圖可以看出，該二階系統(tǒng)是自衡系統(tǒng)，并且是無(wú)時(shí)延系統(tǒng)，并且這與實(shí)際測(cè)得的曲線趨勢(shì)基本吻合。根據(jù)近似的二階閉環(huán)傳遞函數(shù)，取T1=6T2=160，得到系統(tǒng)的近似開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gs=Q2(s)Q1(s) ?H2(s)Q2(s) =+1(160s+1 ) () a所示，（）式與（）。177。177。因此可以將純時(shí)延環(huán)節(jié)e3s用一個(gè)慣性環(huán)節(jié)來(lái)等價(jià)，即用式G39。 在上一章，已經(jīng)求得雙容水箱液位控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為Gs=Q2(s)Q1(s) ?H2(s)Q2(s) =+1(160s+1 )es () 從（）表達(dá)式來(lái)看，雙容水箱系統(tǒng)為具有純時(shí)延環(huán)節(jié)的二階系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，還要分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能，從而明確所設(shè)計(jì)控制器期望達(dá)到的控制質(zhì)量。4 雙容水箱系統(tǒng)的滑模控制 滑模變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)分析 系統(tǒng)的仿真分析 上一章討論了系統(tǒng)的建模方法并實(shí)際測(cè)得了水箱液位控制的傳遞函數(shù)。此外，SIMULINK是一個(gè)用來(lái)對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和分析的軟件包，它支持線性和非線性系統(tǒng)，連續(xù)和離散時(shí)間模型，或者是兩者的混合。本文主要是利用了SIMULINK工具箱和M文件。 MATLAB是Math Works公司于1984年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件，它集數(shù)值計(jì)算，矩陣運(yùn)算，信號(hào)處理和圖形顯示于一體，構(gòu)成了一個(gè)方便的，界面友好的用戶(hù)環(huán)境。 MATLAB簡(jiǎn)介 計(jì)算機(jī)仿真是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行科學(xué)研究的重要手段。Ot2t1t 雙容水箱階躍相應(yīng)曲線∞∞y∞y0t 聯(lián)立方程T1T1T2et1T1T2T1T2 et1T2= et2T2=得到近似解T1+T2≈(t1+t2) T1T2(T1+T2)2≈() () 通過(guò)實(shí)驗(yàn)，求得該雙容系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，K0=，T1=65，T2=160，τ=1。 系統(tǒng)階躍相應(yīng)為yt=K0h0(1T1T1T2etT1+T2T1T2 etT2) ()利用階躍相應(yīng)上兩個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)t1,yt1和t2,yt2確定T1 、T2。 K0的確定方法同（）。 對(duì)于本實(shí)驗(yàn)的雙容水箱系統(tǒng)，還可以用兩點(diǎn)法確定相關(guān)參數(shù)。上式為無(wú)時(shí)延過(guò)程，下式為有時(shí)延過(guò)程。 對(duì)式（）（）（）（）聯(lián)立，進(jìn)行拉氏變換，整理后得到 Gs=Q2(s)Q1(s) ?H2(s)Q2(s) =1T1s+1 ?R2T2s+1 ()式中T1為上水箱過(guò)程時(shí)間常數(shù)，T1=R2C1；T2為下水箱過(guò)程時(shí)間常數(shù)，T2=R3C2。 由此，系統(tǒng)閉環(huán)結(jié)構(gòu)框圖為U(s)R(s)+1 閉環(huán)結(jié)構(gòu)框圖、多容水箱系統(tǒng)建模及參數(shù)辨識(shí)、多容水箱系統(tǒng)機(jī)理模型 同對(duì)單容水箱系統(tǒng)進(jìn)行機(jī)理建模一樣，首先要先簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，以雙容水箱系統(tǒng)為例。故此法也被稱(chēng)作2點(diǎn)法。 為了使得T0和τ更精確一些，然后取平均值。 一階時(shí)延環(huán)節(jié)階躍相應(yīng)曲線y0t1y0t2t1τt2tO1y0t選取不同的兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)t1t2,分別對(duì)應(yīng)y0ty0t2。 為避免在階躍曲線上找D點(diǎn)及通過(guò)D點(diǎn)做切線存在過(guò)大的誤差，一般采取計(jì)算法求取T0和時(shí)延時(shí)間τ。在階躍響應(yīng)曲線斜率最大處（即拐點(diǎn)D）作一條切線，該切線與時(shí)間軸交于C點(diǎn)，與y∞交于A點(diǎn)，A在時(shí)間軸上投影點(diǎn)為B。DT0τCBAtOy(∞)y(t) 一階時(shí)延環(huán)節(jié)階躍相應(yīng)曲線 帶時(shí)延的一階環(huán)節(jié)需要確定三個(gè)參數(shù)K0、T0和時(shí)延時(shí)間τ。 如果過(guò)程的階躍相應(yīng)在t=0時(shí)斜率幾乎為零，之后斜率逐漸增大，到達(dá)某點(diǎn)（拐點(diǎn)）后斜率又逐漸減小，曲線呈S形。若分別求取的T0有差異，采用平均值即可。根據(jù)式（）和式（）可以得到y(tǒng)t=y∞1etT0 令t分別為t=T0/T0、2T0，則yT02=39%?y∞、yT0=63%?y∞、y2T0=%?y∞。 先由階躍曲線（）得到y(tǒng)∞，再在階躍響應(yīng)曲線的起點(diǎn)t=0處作切線，該切線與y∞的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間（，即OB段）即為T(mén)0。對(duì)式（）所示的一階無(wú)延時(shí)環(huán)節(jié)，需要確定的參數(shù)只有K0和T0。 。 在實(shí)驗(yàn)后，根據(jù)機(jī)理模型的結(jié)構(gòu)Gs=K0T0s+1 。 (3)在輸入階躍信號(hào)前，過(guò)程必須處于平衡狀態(tài)。 (2)階躍信號(hào)不能取得太大，以免影響系統(tǒng)正常運(yùn)行；但也不能過(guò)小，以防止對(duì)象特性的不真實(shí)性。 階躍響應(yīng)法是通過(guò)操作對(duì)象的調(diào)節(jié)閥，使過(guò)程的控制輸入產(chǎn)生一個(gè)階躍變化，得到被測(cè)量隨時(shí)間變化的響應(yīng)曲線，在根據(jù)此曲線求取輸入輸出之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。本文選用較直觀的方法，即響應(yīng)曲線法。本文對(duì)各個(gè)試驗(yàn)參數(shù)的確定正是采用實(shí)驗(yàn)辨識(shí)方法。在實(shí)際操作過(guò)程中，這些量并不能準(zhǔn)確、方便的得到。 前面所述對(duì)于比較簡(jiǎn)單的被控過(guò)程和被控對(duì)象的機(jī)理分析，以及通過(guò)物料平衡等