【正文】 由課本（）得經(jīng)狀態(tài)變換后的狀態(tài)估計值為原來系統(tǒng)的狀態(tài)評估為結(jié)構(gòu)圖 91。解：① 判別能觀性可知系統(tǒng)完全能觀，能任意陪極點(diǎn)，能夠找到觀測器。解：① 判別能觀性可知系統(tǒng)完全能觀，能夠找到觀測器； ② 對于全維觀測器 觀測器的特征多項式為：期望觀測器特征多項式為：解得：。解：① 判別能觀性可知系統(tǒng)完全能觀，能夠找到觀測器； ② 設(shè)加入的，則觀測器的特征多項式為： ③ 期望觀測器特征多項式為： 解得： 。 確定D、E陣： （2）E矩陣不滿秩，根據(jù)能解耦判據(jù)得，該系統(tǒng)不能狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦。58. 已知系統(tǒng)：（1）判別系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦（2）設(shè)計狀態(tài)反饋使系統(tǒng)解耦，且極點(diǎn)為。解：求被解耦傳遞函數(shù)陣的逆：（注：若不存在逆，則該系統(tǒng)不能用前饋補(bǔ)償解耦。（2）判斷系統(tǒng)的能控性：rankM=4,系統(tǒng)完全能控，通過狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。（2） 系統(tǒng)能否鎮(zhèn)定，若能，設(shè)計狀態(tài)反饋陣使之穩(wěn)定。（2）解：系統(tǒng)可以分解為以下兩個子系統(tǒng)： ，以上兩個子系統(tǒng)最后一行對應(yīng)的b陣全為0，故兩子系統(tǒng)均不能控，又有,，可得兩個子系統(tǒng)的特征根分別為：2，2，2和5，5均為負(fù)實根，所以兩個子系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，所以通過狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。能控標(biāo)準(zhǔn)I型為令為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為=由于狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，根據(jù)題意，配置極點(diǎn)應(yīng)為2，2，3，得期望特征多項式為:比較與的對應(yīng)項系數(shù)，可得即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：55使判斷下列系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。（3） 加狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：=給定的閉環(huán)極點(diǎn)為：3，3期望的特征多項式為：對應(yīng)系數(shù)相等得：1,3即狀態(tài)反饋陣為：K=[1 3]54設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試問能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成若有可能，試求出狀態(tài)反饋，并畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 對于系統(tǒng)有： ，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動態(tài)性能不滿足要求，可通過狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)。（2） 若動態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點(diǎn)？（3） 若指定極點(diǎn)為3，3，求狀態(tài)反饋陣。解：依題意有：,=，rankM=3，系統(tǒng)能控。解：依題意有： ，系統(tǒng)能控。解：用克拉索夫斯基法，取 P=I.412 試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)：（1）（2）解：（1）假設(shè)V(x)的梯度為： 計算V(x)的導(dǎo)數(shù)為： 選擇參數(shù)，試選于是得：顯然滿足旋度方程V(x)是正定的，因此在12x1x20即x1x2的范圍內(nèi)，xe=0是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 證明：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在坐標(biāo)原點(diǎn)，由于，可取李雅普諾夫函數(shù)為 由于，非正定，并且時，；時，即對于或 不恒為零，所以坐標(biāo)原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的；由于，是大范圍漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)是最大范圍漸近穩(wěn)定的。故系統(tǒng)在原點(diǎn)處為大范圍漸近穩(wěn)定。取則 ，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：，的符號無法判斷。49 設(shè)非線性狀態(tài)方程為: 試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。48 設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試求在平衡點(diǎn)=0處，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定時k的取值范圍?！　　　　　　Ｔ＝， P＝，則 －＝－解得P＝由希爾維斯特判據(jù)：＝P11＝－19/78＜0，＝531/6084＞0，－＜0。解: 由題可知，G ＝,系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為坐標(biāo)原點(diǎn)。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。選取Lyapunov函數(shù)為，則是負(fù)定的。46設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。45 試求下列非線性微分方程： 的平衡點(diǎn)，然后對各平衡點(diǎn)進(jìn)行線性化，并討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 。（2） 在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線性化，并討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。故系統(tǒng)在原點(diǎn)處為大范圍漸近穩(wěn)定。 （2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是。選取標(biāo)準(zhǔn)二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)，即，則 =0是負(fù)定的，且，有。即其中要求正定，則要求因此，且43以李雅普諾夫第二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。即：方法（2）：系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定，等價于。解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求滿足A的特征值均具有負(fù)實部。 （2） Q（x）=xTx=xTPx，由于P的2階主子行列式都大于零，而3階主子行列式小于零，故為非定號性函數(shù)。所以圖中開環(huán)及閉環(huán)系統(tǒng)為能控、能觀性一致。 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：設(shè)W0(s)= (mn)若系統(tǒng)不能控或（和）不能觀，則W0(s)有零極點(diǎn)相消，即與有公因子。解：（1）和串聯(lián)當(dāng)?shù)妮敵鍪堑妮斎霑r，則rank M=23，所以系統(tǒng)不完全能控。構(gòu)造變換陣R01，將系統(tǒng)按能觀性分解：取，則有， 則，W（s)的最小實現(xiàn)為：， ， （2).W（s）的各元Wik(s)為嚴(yán)格真有理分式，其實現(xiàn)Σ具有（A,B,C）的形式，則有：C（sIA）1B=W(s)將C（sIA）1B寫成按s降冪排列的格式： 可得：a0=a1=a2=0，,可得到能控標(biāo)準(zhǔn)型的各系數(shù)陣：，該能控標(biāo)準(zhǔn)型的能觀性判別矩陣N為：，rankN= 36,則該能控標(biāo)準(zhǔn)型不完全能觀，即該能控標(biāo)準(zhǔn)型不是最小系統(tǒng)。 （1）解：（1）由已知得則有能能觀性判別陣rank N=23，該系統(tǒng)不能觀構(gòu)造非奇異變換矩陣，有則（2） ，解：系統(tǒng)的能觀性判別矩陣，rankN=23，系統(tǒng)不完全能觀存在非奇異變換陣：，所以，存在二維能觀子系統(tǒng)：一維不能觀子系統(tǒng)：313 試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。構(gòu)造奇異變換陣Rc，R1＝b＝　　　R2?。紸b＝　　　R3＝　　　　其中　R3任意的，只需滿足Rc滿秩即Rc＝，則有RＣ－１＝，可得＝RＣ－１A Rc＝＝＝RＣ－１b＝　，　　　　故系統(tǒng)分解為兩部分 二維能控子系統(tǒng) 一維不能控子系統(tǒng)（2）構(gòu)造能控判別矩陣M＝[b，Ab，A2b]＝，易知rank（M）＝2＜3，故系統(tǒng)不完全能控。解：可得系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為又因為系統(tǒng)能控標(biāo)準(zhǔn)I型