微積分下冊(cè)主要知識(shí)點(diǎn)(參考版)
2025-06-23 05:04本頁面
【正文】 (2) 根據(jù)定義，如果函數(shù)在區(qū)域上可積，則二重積分的值與對(duì)積分區(qū)域的分割方法無關(guān)，因此，在直角坐標(biāo)系中，常用平行于軸和軸的兩組直線來分割積分區(qū)域，則除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外，于是. 故在直角坐標(biāo)系中，面積微元可記為. 即.進(jìn)而把二重積分記為，這里我們把稱為直角坐標(biāo)系下的面積微元. 二、二重積分的性質(zhì)類似于一元函數(shù)的定積分，二重積分也有與定積分類似性質(zhì)，且其證明也與定積分性質(zhì)的證明類似. 一、區(qū)域分類型區(qū)域：. 其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù). 這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).型區(qū)域：. 其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù). 這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過區(qū)域且平行于軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). 二、二重積分的計(jì)算假定積分區(qū)域?yàn)槿缦滦蛥^(qū)域:.則有 ()類似地，如果積分區(qū)域?yàn)樾蛥^(qū)域：.則有 () 特別地，當(dāng)區(qū)域?yàn)榫匦螀^(qū)域時(shí)，有 三、交換二次積分次序的步驟一般地，交換給定二次積分的積分次序的步驟為：（1） 對(duì)于給定的二重積分 先根據(jù)其積分限畫出積分區(qū)域D（圖6814）（2）根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序確定積分區(qū)域D的積分限（3） 寫出結(jié)果四、利用對(duì)稱性和奇偶性化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對(duì)稱性，常會(huì)大大化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算. 在例5中我們就應(yīng)用了對(duì)稱性來解決所給的問題. 如同在處理關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的奇（偶）函數(shù)的定積分一樣，在利用這一方法時(shí)，要同時(shí)兼顧到被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域D的對(duì)稱性兩方面. 為應(yīng)用方便，我們總結(jié)如下：1. 如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，則(1) 當(dāng)時(shí)，有.(2) 當(dāng)時(shí)，有其中2．如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，則(1) 當(dāng)時(shí)，有.(2) 當(dāng)時(shí)，有其中。 （3）將前兩步得到的所有函數(shù)值進(jìn)行比較，其中最大者即為最大值, 最小者即為最小值.在通常遇到的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，可以判斷出函數(shù)的最大值（最小值）一定在的內(nèi)部取得，而函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)在上的最大值（最小值）. 三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題，對(duì)于函數(shù)的自變量一般只要求落在定義域內(nèi)，并無其它限制條件，這類極值我們稱為無條件極值. 但在實(shí)際問題中，常會(huì)遇到對(duì)函數(shù)的自變量還有附加條件的的極值問題. 對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值.拉格朗日乘數(shù)法設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿足條件的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無條件極值問題.于是，求函數(shù)在條件的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：(1) 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中為某一常數(shù)。(3) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒有極值.根據(jù)定理1與定理2，如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求的極值的一般步驟為：第一步 解方程組 求出的所有駐點(diǎn)；第二步 求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點(diǎn)處A、 B、 C的值，并根據(jù)的符號(hào)判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn). 最后求出函數(shù)在極值點(diǎn)處的極值.二、二元函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù)的最大值和最小值的一般步驟為: （1）求函數(shù)在內(nèi)所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值。六、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù) 則在內(nèi)和都是、的函數(shù). 如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). 按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同，共有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：其中第二、第三兩個(gè)偏導(dǎo)稱為混合偏導(dǎo)數(shù). 類似地，可以定義三階、四階、階偏導(dǎo)數(shù). 我們把二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).定理1 如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 則在該區(qū)域內(nèi)有.一、微分的定義定義1 如果函數(shù)在點(diǎn)的全
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