淺談二次型及其應用1(參考版)
2025-06-23 00:37本頁面
【正文】 第五版。北京：高等教育出版社。下面考慮的秩和符號差，對做非退化線性替換： 即有，從而，從而的秩為2，符號差為0，由二次型的相關定義及定理知可以分解, .結束語 本文主要根據(jù)二次型的結構特點及相關性質，將其理論運用于多項式因式分解，求極值，因式分解，判斷二次曲線的形狀并計算橢圓面積，求解過程未必簡單，但提供了一種用二次型解決中學問題的方法及思路.參考文獻 [1]北大數(shù)學系幾何與代數(shù)研究小組，高等代數(shù)[M]。 3) 與單位矩陣合同； 4）的特征值全大于零； 5）的主子式全大于零； 6）存在可逆的，使得. 實二次型 為半正定的充要條件為 1）的正慣性指數(shù)與秩相等； 2）的各階主子式大于或等于零； 3）的特征值全大于等于零；4）的正慣性指數(shù)，負慣性指數(shù)。 Orthogonal transformation 引言高等代數(shù)與初等代數(shù)的聯(lián)系是密不可分的，在中學數(shù)學中，不等式的證明、而如果利用高等代數(shù)中二次型的性質去解決，有時也會起到意想不到的效果.由于二次型具有較高的綜合性和抽象性，對于相當一部分非數(shù)學專業(yè)的學生來說，雖然能夠按照化二次型為標準型的步驟將一個普通二次型化為標準型，但是仍然無法建立起二次型的直觀概念，很多學生很疑惑：二次型到底是什么？它有什么幾何意義？在化二次型為標準型時使用的正交變換和配方法有什么區(qū)別？二次型的標準形有什么用？等等這些問題我們將一一解決. 二次型從本質上來說仍然是一個關于個變量的函數(shù)，只不過是一個比較特殊的二次其次函數(shù)，在表達式中出了平方項就是交叉項，沒有一次項和常數(shù)項，只是希望利用矩陣的理論來研究二次型時才將二次型寫為: 每個元二次型， 都可唯一地表成, 其中，為對稱陣，稱為二次型的矩陣，的秩稱為的秩. 實二次型 (為實對稱陣，），若對于任意的，皆有，則稱為正定（半正定，半負定）二次型，若既不是半正定也不是半負定的，則稱為不定二次型.
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