有限差分法求解偏微分方程(參考版)
2025-06-22 04:08本頁面
【正文】 圖9 狄利克雷邊界條件下赫爾墨茲方程的解2. 雙曲方程：uttx,t=4uxxx,t；求解區(qū)域：R={x,y:0≤x≤1,0≤t≤1}.邊界條件：u0,t=0u1,t=0ux,0=fx=sinπx+sin2πxuttx,0=gx=0圖10 雙曲方程的解3. 拋物方程：utx,t=uxxx,t；求解區(qū)域：R={x,y:0≤x≤1,0≤t≤}.初值條件：ux,0=fx=sinπx+sin3πx邊界條件：u0,t=g1t=0u1,t=g2t=0圖11 拋物方程的解參考文獻(xiàn)1. John H. Mathews, Kurtis D. Fink. Numerical Methods Using MATLAB, Fourth Edition. BEIJING: Publishing House of Electronic Industry, 2. 孫志忠. 偏微分方程數(shù)值解法（第二版）.北京：科學(xué)出版社，20123. .。通常，我們可以通過提高逼近的精度，采用更高精度的差分公式，例如對公式（21）進(jìn)行修改，可得到九點差分公式：?2ui,j≈16h2ui+1,j+1+ui1,j+1+ui+1,j1+ui1,j1+4ui+1,j+4ui1,j+4ui,j1+4ui,j+120ui,j+O(h4)ui1,j+14ui1,jui1,j14ui+1,j20ui,j4ui1,j4ui,j+1ui1,j+1ui+1,j+1xi+1xixi1x1yj+1yj1yjy1ym圖5 九點差分公式3 有限差分法求解實例 根據(jù)上述推導(dǎo)有限差分法理論，對于不同類型的偏微分方程建立有限差分方程組，采用mat lab編程給出一些計算實例如下：1. 橢圓型方程n 拉普拉斯方程：?2u=0；求解域：R={x,y:0≤x≤,0≤y≤}下面分別給出拉普拉斯方程在不同的邊界條件下的解。有限差分法的算法穩(wěn)定性可以通過特征值方法、傅里葉變換（馮諾依曼條件）以及能量估計等方法來判斷，下面給出常用的馮諾依曼條件：n 向前差分：r≤1，絕對收斂；n 向后差分：r0，絕對收斂；n 中心差分：對任何的r對不收斂；假設(shè)求解域內(nèi)x方向網(wǎng)格劃分的步長為h，y方向網(wǎng)格劃分的步長為k，將偏微分方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，具體來說標(biāo)準(zhǔn)形式如下：（31）n 雙曲方程：?2u?y2=c2?2u?x2(c0) 對于式（31）所示的雙曲方程，馮諾依曼條件為：r=ckh.（32）n 拋物方程：?u?y=a?2u?x2對于式（32）所示的拋物方程，馮諾依曼條件為：r=ck?h2.（33）n 橢圓方程：c2?2u?x2+?2u?y2=0對于式（33）所示的橢圓方程，馮諾依曼條件為：r=ckh.（34）為了使算法在任何情況下都能保持穩(wěn)定性，去掉對網(wǎng)格劃分的馮諾依曼條件，通常采用隱式方案，對五點差分公式中的節(jié)點所在的行做差分，然后把這些差分的加權(quán)作為中心點的差分值，則拉普拉斯算子可修正為：uxx=θui+1,j+12ui,j+1+ui1,j+1h2+12θui+1,j2ui,j+ui1,jh2+θui+1,j12ui,j1+ui1,j1h2（0≤θ≤1）利用式（34）進(jìn)行計算時，穩(wěn)定性沒有任何限制。 對于上述過程建立的線性方程組的求解，可采用多種方法，比如Jacob迭代法、GaussSeidel迭代法、超松弛迭代法（SOR法）、高斯消元法等方法求解。（19）n 向前差分?2u=uxx+uyy=ui+2,j2ui+1,j+ui,jh2+ui,j+22ui,j+1+ui,jh2 =ui+2,
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