一次函數(shù)經(jīng)典題及答案(參考版)
2025-06-21 23:36本頁面
【正文】 1，由圖示可知取y2=1.又∵點(diǎn)C在直線AB上， ∴1=x2+3，∴x2=2.把C點(diǎn)坐標(biāo)（2，1）代入y=kx中，得 1=2k，∴k=y2.∴直線l的解析式為y=x.∴直線l的解析式為y=2x或y=x.。3|OA|2，由圖示可知取y1=2．又∵點(diǎn)C在直線AB上， ∴2=x1+3，∴x1=1.∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）． 把C點(diǎn)坐標(biāo)（1，2）代人y=kx中，得2=1|OA|∴比賽開始24分時(shí)，兩人第一次相遇．（2）設(shè)yOD=mx,把（4，6）代入，得m=，當(dāng)X=48時(shí)，yOD=48=12（千米）∴這次比賽全程是12千米．（3）當(dāng)33≤x≤43時(shí)，設(shè)yBC=k2x+b2，把（33，7）和（43，12）代入，解得k2=，b2=.∴yBC=x.解方程組得得 ∴x=38.∴當(dāng)比賽開始38分時(shí)，兩人第二次相遇．例10 如圖11－31所示，已知直線y=x+3的圖象與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，直線l經(jīng)過原點(diǎn)，與線段AB交于點(diǎn)C，把△AOB的面積分為2：1的兩部分，求直線l的解析式．[分析] 設(shè)直線l的解析式為y=kx(k≠0),因?yàn)閘分△AOB面積比為2：1，故分兩種情況：① S△AOC：S△BOC=2：1；②S△AOC：S△BOC=1：2．求出C點(diǎn)坐標(biāo)，就可以求出直線l的解析式．解：∵直線y=x+3的圖象與x,y軸交于A，B兩點(diǎn)．∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）,B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).∴|OA|＝3，|OB|=3．∴S△AOB=|OA|50=56（元〕答：每名運(yùn)動(dòng)員需支付56元．例2 已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)x=4時(shí)，y的值為9；當(dāng)x=2時(shí)，y的值為3．（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式。時(shí)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，2)（3）函數(shù)圖象平行于直線y=x， ∴3k=1， ∴k＝4．∴當(dāng)k＝4時(shí)，它的圖象平行于直線x=x．（4）∵隨x的增大而減小， ∴3k﹤O． ∴k＞3．∴當(dāng)k＞3時(shí)，y隨x的增大而減?。?2 判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，2），C（4，2）是否在同一條直線上．[分析] 由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過這兩點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，再把第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立，說明在此直線上；若不成立，說明不在此直線上．解：設(shè)過A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b．由題意可知，∴∴過A，B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=x2． ∴當(dāng)x=4時(shí)，y=42=2．∴點(diǎn)C（4，2）在直線y=x2上．∴A（3，1）， B（0，2），C（4，2）在同一條直線上．學(xué)生做一做 判斷三點(diǎn)A（3，5），B（0，1），C（1，3）是否在同一條直線上.探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問題中的廣泛應(yīng)用．例13 老師講完“一次函數(shù)”這節(jié)課后，讓同學(xué)們討論下列問題：（1）x從0開始逐漸增大時(shí)，y=2x+8和y=6x哪一個(gè)的函數(shù)值先達(dá)到30？這說明了什么？（2）直線y=x與y=x+6的位置關(guān)系如何？甲生說：“y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30，說明y=6x比y=2x+8的值增長得快．”乙生說：“直線y=x與y=x+6是互相平行的．”你認(rèn)為這兩個(gè)同學(xué)的說法正確嗎？［分析］ （1）可先畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，從圖象中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＞2時(shí)，6x＞2x+8，所以，y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30．（2）直線y=x與y=x+6中的一次項(xiàng)系數(shù)相同，都是1，故它們是平行的，所以這兩位同學(xué)的說法都是正確的．解：這兩位同學(xué)的說法都正確．例14 某校一名老師將在假期帶領(lǐng)學(xué)生去北京旅游，用旅行社說：“如果老師買全票，其他人全部半價(jià)優(yōu)惠．”乙旅行社說：“所有人按全票價(jià)的6折優(yōu)惠．”已知全票價(jià)為240元．（1）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，甲旅行社的收費(fèi)為y甲元，乙旅行社的收費(fèi)為y乙元，分別表示兩家旅行社的收費(fèi)；（2）就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠．［分析］ 先求出甲、乙兩旅行社的收費(fèi)與學(xué)生人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過比較，探究結(jié)論．解：（1）甲旅行社的收費(fèi)y甲（元）與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=240+240x=240+120x.乙旅行社的收費(fèi)y乙（元）與學(xué)生人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=24060％（x+1）=144x+144．（2）①當(dāng)y甲=y乙時(shí)，有240+120x=144x+144，∴24x＝96，∴x=4． ∴當(dāng)x=4時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)相同，去哪家都可以．②當(dāng)y甲＞y乙時(shí)，240+120x＞144x+144，∴24x＜96，∴x＜4． ∴當(dāng)x﹤4時(shí)，去乙旅行社更優(yōu)惠．③當(dāng)y甲﹤y乙時(shí)，有240+120x﹤140x+144，∴24x＞96，∴x＞4． ∴當(dāng)x＞4時(shí)，去甲旅行社更優(yōu)惠．小結(jié) 此題的創(chuàng)新之處在于先通過計(jì)算進(jìn)行討論，再作出決策，另外，這兩個(gè)函數(shù)都是一次函數(shù)，利用圖象來研究本題也不失為一種很好的方法．學(xué)生做一做 某公司到果園基地購買某種優(yōu)質(zhì)水果，（含3000千克）的有兩種銷售方案．甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運(yùn)回，已知該公司租車從基地到公司的運(yùn)輸費(fèi)為5000元．（1）分別寫出該公司兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；（2）當(dāng)購買量在什么范圍時(shí)，選擇哪種購買方案付款少？并說明理由．老師評一評 先求出兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過比較，探索出結(jié)論．（1）甲方案的付款y甲（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y甲=9x（x≥3000）；乙方案的付款y乙（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y乙=8x+500O（x≥3000）．（2）有兩種解法：解法1：①當(dāng)y甲=y乙時(shí)，有9x=8x+5000， ∴x=5000．∴當(dāng)x=5000時(shí)，兩種方案付款一樣，按哪種方案都可以．②當(dāng)y甲﹤y乙時(shí)，有9x﹤8x+5000，∴x＜5000． 又∵x≥3000，∴當(dāng)3000≤x≤5000時(shí)，甲方案付款少，故采用甲方案．③當(dāng)y甲＞y乙時(shí)，有9x＞8x+5000，∴x＞5000． ∴．當(dāng)x＞500O時(shí)，乙方案付款少，故采用乙方案．解法2：圖象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函數(shù)圖象，如圖11－24所示，由圖象可得：當(dāng)購買量大于或等于3000千克且小于5000千克時(shí)，y甲﹤y乙,即選擇甲方案付款少；當(dāng)購買量為5000千克時(shí)，y甲﹥y乙即兩種方案付款一樣；當(dāng)購買量大于5000千克時(shí)，y甲＞y乙，即選擇乙方案付款最少．【說明】 圖象法是解決問題的重要方法，也是考查學(xué)生讀圖能力的有效途徑.例15 一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是3≤x≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是5≤y≤2，則這個(gè)函數(shù)的解析式為 .[分析] 本題分兩種情況討論：①當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，則有：當(dāng)x=3，y=5；當(dāng)x=6時(shí)，y=2，把它們代入y=kx+b中可得∴∴函數(shù)解析式為y=x4．②當(dāng)k﹤O時(shí)則隨x的增大而減小，則有：當(dāng)x=3時(shí)，y=2；當(dāng)x=6時(shí)，y=5，把它們代入y=kx＋b中可得∴∴函數(shù)解析式為y=x3.∴函數(shù)解析式為y=x4，或y=x3. 答案：y=x4或y=x3.【注意】 本題
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