【正文】 。的對偶空間（即上一切線性連續(xù)泛函的全體）稱為價格空間。就是商品向量在價格體系下的價值。l 對任何的及, 。這就是說，無限維經(jīng)濟中的價格體系是一般商品空間上的線性連續(xù)泛函。由于把商品作為整體看待，即消費者選擇了一籃子商品，生產(chǎn)者提供了一籃子商品，因此價格體系也必須作為整體看待，即要確定這一籃子商品的價值，也即要確定商品向量的價值。（二）價格泛函在無限維經(jīng)濟中，商品空間成為一般商品空間，即拓撲向量格。正式由于這樣，我們把空間 叫做價格空間。價格為負的商品一般是垃圾或者有害物，例如，發(fā)達國家常常把他們的原子核垃圾以負價格出售給落后國家。商品價格可以為正、為負或為零。商品向量在價格體系的價值是向量與向量的內(nèi)積：由此可見，價格體系實際上確定了商品空間上的一個線性連續(xù)泛函,這個泛函確定了每個商品向量的價值。由各種商品的價格所構(gòu)成的向量，叫做商品的價格體系或價格向量。二、價格的表示（一）價格向量我們首先考慮有限維經(jīng)濟中商品價格的表示問題。如今, 價格概念包含的內(nèi)容很多，如正常價格、工資、津貼、薪金、租金、票價、運費等等。貨幣的出現(xiàn)，使得商品價格從物與物的交換比例形式變?yōu)閱挝簧唐匪軗Q取的貨幣量。隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，商品交換越來越成為必不可少的重要經(jīng)濟活動。社會分工的出現(xiàn)，使得交換變得更加頻繁。在生產(chǎn)力水平極端低下的原始社會，原始族落共同勞動獲得的產(chǎn)品僅夠維持自己族落成員的生存，拿不出剩余產(chǎn)品去交換以獲得其他族落的勞動產(chǎn)品。本節(jié)在商品空間的框架下討論價格體系的一般表示問題。第四節(jié) 價格體系價格是微觀經(jīng)濟學研究的重點。一般拓撲空間中，道路連通的集合必然是連通的；反之不然。如果連續(xù)并且滿足條件：、, 則稱是中連接點和點的道路。這是阿羅和德布羅在重建瓦爾拉一般均衡理論體系時所使用的一個最基本的事實。泛函作為特殊的映射，一個重要的事實是：上的任何線性泛函都是連續(xù)的。（五）連續(xù)映射與連續(xù)函數(shù)設(shè)，, . 映射在點處連續(xù)，是指對點的任何鄰域，都存在點的鄰域，使得對一切，都有. 可以證明，映射在點處連續(xù)的充分必要條件是：對中的任何序列, 若, 則。l 如果閉集，是開集，并且，則和可由某個超平面分離。l 如果并且，則和可由某個超平面分離。經(jīng)濟學中用到的有關(guān)分離性的事實是下面的凸集分離性定理。更一般地說，點稱為是子集的支撐點，是指存在的一個支撐超平面使得。超平面叫做是子集的支撐超平面，是指并且。的子集和由超平面分離，是指：或者。位于一個凸集下方的超平面，稱為該凸集的支撐超平面。當2時，超平面就是直線；當3時，超平面就是通常(3維空間中)的平面。也就是說，的一個子集稱為是一張超平面，是指存在上的一個線性泛函以及存在一個實數(shù)，使得。鑒于此，可把上線性泛函與決定這個泛函的向量等同看待，并且在記法上不加區(qū)別。這里，表示向量與向量的內(nèi)積（即對應分量之積的和）。如果某個泛函滿足條件：則稱是拓撲向量空間上的線性泛函。定義域為的子集的函數(shù)，叫做元函數(shù)（多元函數(shù)）。顯然，是由映射確定的滿射。映射叫做滿射，是指對每個，都存在相應的，使得。顯然，若是從到的映射，則也定義了從到的映射。映射通常記作, 其中叫做的定義域，叫做的值域，集合叫做映射的圖像。（三）映射、函數(shù)與泛函設(shè)和為任意兩個集合（不必是點集）。點集的凸包是指中包含的最小凸集，記作co. 可以證明：co當既是凸集，又是緊集時，稱是凸緊集。點集稱為是凸集，是指對任何及實數(shù)，都有. 這就是說，的凸性是指中任何兩點之間的連線(直線段)都在中。容易看出：是有界點集當且僅當存在正數(shù)，使得對一切，都有。這里，集族的有限交性質(zhì)是指該集族中任何有限個集合的交集都是非空的。拓撲學中證明了下面兩個事實：l 是緊集當且僅當是閉集并且中的任何序列都有收斂子序列。當?shù)娜魏伍_覆蓋都有有限子覆蓋時，稱是緊集。利用極限概念，閉集的特征可刻畫為：l 點集是閉集當且僅當中任何收斂序列的極限仍在中。點列收斂于 點，是說：對于的任何一個鄰域，都存在一個自然數(shù)，使得對一切的，都有（這等價于說，對于任何，存在自然數(shù)，使得對一切的，都有）。從全空間的角度來看，是連通的當且僅當不存在滿足下面兩個條件的子集和：(1) 且(2) 且（二）緊性與凸性極限是高等數(shù)學中的基本概念，這里簡單回憶一下空間中的極限。等價地說，的連通性是指不能寫成兩個不相交的非空開子集之并。子空間上一切與拓撲有關(guān)的概念，都是相對拓撲意義下的概念。的子集可以看作是的拓撲子空間，其意義是說上的拓撲是相對拓撲，即子空間的開(閉)子集是指的開(閉)子集與的交集?？梢宰C明：l 是開集當且僅當l 是閉集當且僅當ll 的內(nèi)部是包含在中的最大開集。的一切附貼點的全體，叫做集合的閉包，記作cl，或記作。凡是以為內(nèi)點的點集，都叫做的鄰域。點叫做的內(nèi)點，是指存在正實數(shù)，使得開球包含在中。l 任何有限個開(閉)集之交(并)仍然是開(閉)集。點集拓撲的基本性質(zhì)是：l 空集和全空間都是開集（從而都是閉集）。的開子集的余集，叫做的閉子集(或者簡稱閉集)。點集（即）叫做是的開子集(或者簡稱開集)，是指對任何，都存在正數(shù)，使得開球包含在中。四、商品空間中的一些拓撲概念（一）點集拓撲中的向量也叫做點，的子集也叫做點集。的一個子集族稱為堅固的，是指該子集族的每個集合都是的堅固子集。 對任何,的正部是向量，負部是向量，絕對值是向量(也稱為的絕對向量)。l 是拓撲向量空間，即 (A5) 是Hausdorff空間（即拓撲滿足分離公理T2）； (A6) 加法運算是從到的連續(xù)映射； (A7) 數(shù)乘運算是從到的連續(xù)映射；l 是局部堅固的，即（A8）在原點O處具有堅固的鄰域基。這種一般的分析框架是阿里普蘭蒂斯(. Aliprantis)、布朗(. Brown)和伯金少(O. Burkinshaw)在1983年用超需求函數(shù)研究經(jīng)濟均衡時發(fā)現(xiàn)的，下面給出它的一般定義。線性結(jié)構(gòu)用于進行行為合成、伸縮和變向；半序結(jié)構(gòu)用于對行為進行數(shù)量上的比較；拓撲結(jié)構(gòu)用于刻畫行為間的差距和行為的連續(xù)性，而且拓撲結(jié)構(gòu)常常用距離或范數(shù)來誘導。于是，經(jīng)濟學中出現(xiàn)了多種多樣的無限維商品空間，諸如, 等。我們把差別行為的力度 稱為經(jīng)濟行為與之間的距離或差距，即很明顯，要斷兩種行為與是否相同，關(guān)鍵要看它們之間的差距是否為零。4. 行為力度任何經(jīng)濟行為都具有一定的力度。對于任何，l 與的下確界；l 與的上確界；l 向量叫做的正部；叫做的負部；叫做的絕對值?？梢?，經(jīng)濟行為之間的比例關(guān)系是通過商品空間中數(shù)與向量的乘法運算來表達的。具體來說，兩種經(jīng)濟行為與之間具有比例關(guān)系，是指存在一個實數(shù)使得或者。用1乘以經(jīng)濟行為向量，代表經(jīng)濟活動的變向，意味著顛倒經(jīng)濟活動的過程。例如企業(yè)擴大或縮小生產(chǎn)規(guī)模，就是企業(yè)原來的經(jīng)濟行為的伸縮。經(jīng)濟行為的合成，如同物理學中力的合成一樣，恰好可用商品空間中向量的加法運算來表示。1. 行為合成俗話說：“人多勢重”, 為什么會這樣呢? 原來，行為是可以合成的。今后，用符號等來表示商品向量，表示