經(jīng)濟(jì)學(xué)基本概念與工具(參考版)
2025-06-20 22:23本頁(yè)面
【正文】 。的對(duì)偶空間（即上一切線性連續(xù)泛函的全體）稱為價(jià)格空間。就是商品向量在價(jià)格體系下的價(jià)值。l 對(duì)任何的及, 。這就是說(shuō)，無(wú)限維經(jīng)濟(jì)中的價(jià)格體系是一般商品空間上的線性連續(xù)泛函。由于把商品作為整體看待，即消費(fèi)者選擇了一籃子商品，生產(chǎn)者提供了一籃子商品，因此價(jià)格體系也必須作為整體看待，即要確定這一籃子商品的價(jià)值，也即要確定商品向量的價(jià)值。（二）價(jià)格泛函在無(wú)限維經(jīng)濟(jì)中，商品空間成為一般商品空間，即拓?fù)湎蛄扛?。正式由于這樣，我們把空間 叫做價(jià)格空間。價(jià)格為負(fù)的商品一般是垃圾或者有害物，例如，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把他們的原子核垃圾以負(fù)價(jià)格出售給落后國(guó)家。商品價(jià)格可以為正、為負(fù)或?yàn)榱?。商品向量在價(jià)格體系的價(jià)值是向量與向量的內(nèi)積：由此可見(jiàn)，價(jià)格體系實(shí)際上確定了商品空間上的一個(gè)線性連續(xù)泛函,這個(gè)泛函確定了每個(gè)商品向量的價(jià)值。由各種商品的價(jià)格所構(gòu)成的向量，叫做商品的價(jià)格體系或價(jià)格向量。二、價(jià)格的表示（一）價(jià)格向量我們首先考慮有限維經(jīng)濟(jì)中商品價(jià)格的表示問(wèn)題。如今, 價(jià)格概念包含的內(nèi)容很多，如正常價(jià)格、工資、津貼、薪金、租金、票價(jià)、運(yùn)費(fèi)等等。貨幣的出現(xiàn)，使得商品價(jià)格從物與物的交換比例形式變?yōu)閱挝簧唐匪軗Q取的貨幣量。隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，商品交換越來(lái)越成為必不可少的重要經(jīng)濟(jì)活動(dòng)。社會(huì)分工的出現(xiàn)，使得交換變得更加頻繁。在生產(chǎn)力水平極端低下的原始社會(huì)，原始族落共同勞動(dòng)獲得的產(chǎn)品僅夠維持自己族落成員的生存，拿不出剩余產(chǎn)品去交換以獲得其他族落的勞動(dòng)產(chǎn)品。本節(jié)在商品空間的框架下討論價(jià)格體系的一般表示問(wèn)題。第四節(jié) 價(jià)格體系價(jià)格是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的重點(diǎn)。一般拓?fù)淇臻g中，道路連通的集合必然是連通的；反之不然。如果連續(xù)并且滿足條件：、, 則稱是中連接點(diǎn)和點(diǎn)的道路。這是阿羅和德布羅在重建瓦爾拉一般均衡理論體系時(shí)所使用的一個(gè)最基本的事實(shí)。泛函作為特殊的映射，一個(gè)重要的事實(shí)是：上的任何線性泛函都是連續(xù)的。（五）連續(xù)映射與連續(xù)函數(shù)設(shè)，, . 映射在點(diǎn)處連續(xù)，是指對(duì)點(diǎn)的任何鄰域，都存在點(diǎn)的鄰域，使得對(duì)一切，都有. 可以證明，映射在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是：對(duì)中的任何序列, 若, 則。l 如果閉集，是開(kāi)集，并且，則和可由某個(gè)超平面分離。l 如果并且，則和可由某個(gè)超平面分離。經(jīng)濟(jì)學(xué)中用到的有關(guān)分離性的事實(shí)是下面的凸集分離性定理。更一般地說(shuō)，點(diǎn)稱為是子集的支撐點(diǎn)，是指存在的一個(gè)支撐超平面使得。超平面叫做是子集的支撐超平面，是指并且。的子集和由超平面分離，是指：或者。位于一個(gè)凸集下方的超平面，稱為該凸集的支撐超平面。當(dāng)2時(shí)，超平面就是直線；當(dāng)3時(shí)，超平面就是通常(3維空間中)的平面。也就是說(shuō)，的一個(gè)子集稱為是一張超平面，是指存在上的一個(gè)線性泛函以及存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。鑒于此，可把上線性泛函與決定這個(gè)泛函的向量等同看待，并且在記法上不加區(qū)別。這里，表示向量與向量的內(nèi)積（即對(duì)應(yīng)分量之積的和）。如果某個(gè)泛函滿足條件：則稱是拓?fù)湎蛄靠臻g上的線性泛函。定義域?yàn)榈淖蛹暮瘮?shù)，叫做元函數(shù)（多元函數(shù)）。顯然，是由映射確定的滿射。映射叫做滿射，是指對(duì)每個(gè)，都存在相應(yīng)的，使得。顯然，若是從到的映射，則也定義了從到的映射。映射通常記作, 其中叫做的定義域，叫做的值域，集合叫做映射的圖像。（三）映射、函數(shù)與泛函設(shè)和為任意兩個(gè)集合（不必是點(diǎn)集）。點(diǎn)集的凸包是指中包含的最小凸集，記作co. 可以證明：co當(dāng)既是凸集，又是緊集時(shí)，稱是凸緊集。點(diǎn)集稱為是凸集，是指對(duì)任何及實(shí)數(shù)，都有. 這就是說(shuō)，的凸性是指中任何兩點(diǎn)之間的連線(直線段)都在中。容易看出：是有界點(diǎn)集當(dāng)且僅當(dāng)存在正數(shù)，使得對(duì)一切，都有。這里，集族的有限交性質(zhì)是指該集族中任何有限個(gè)集合的交集都是非空的。拓?fù)鋵W(xué)中證明了下面兩個(gè)事實(shí)：l 是緊集當(dāng)且僅當(dāng)是閉集并且中的任何序列都有收斂子序列。當(dāng)?shù)娜魏伍_(kāi)覆蓋都有有限子覆蓋時(shí)，稱是緊集。利用極限概念，閉集的特征可刻畫(huà)為：l 點(diǎn)集是閉集當(dāng)且僅當(dāng)中任何收斂序列的極限仍在中。點(diǎn)列收斂于 點(diǎn)，是說(shuō)：對(duì)于的任何一個(gè)鄰域，都存在一個(gè)自然數(shù)，使得對(duì)一切的，都有（這等價(jià)于說(shuō)，對(duì)于任何，存在自然數(shù)，使得對(duì)一切的，都有）。從全空間的角度來(lái)看，是連通的當(dāng)且僅當(dāng)不存在滿足下面兩個(gè)條件的子集和：(1) 且(2) 且（二）緊性與凸性極限是高等數(shù)學(xué)中的基本概念，這里簡(jiǎn)單回憶一下空間中的極限。等價(jià)地說(shuō)，的連通性是指不能寫(xiě)成兩個(gè)不相交的非空開(kāi)子集之并。子空間上一切與拓?fù)溆嘘P(guān)的概念，都是相對(duì)拓?fù)湟饬x下的概念。的子集可以看作是的拓?fù)渥涌臻g，其意義是說(shuō)上的拓?fù)涫窍鄬?duì)拓?fù)?，即子空間的開(kāi)(閉)子集是指的開(kāi)(閉)子集與的交集。可以證明：l 是開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)l 是閉集當(dāng)且僅當(dāng)ll 的內(nèi)部是包含在中的最大開(kāi)集。的一切附貼點(diǎn)的全體，叫做集合的閉包，記作cl，或記作。凡是以為內(nèi)點(diǎn)的點(diǎn)集，都叫做的鄰域。點(diǎn)叫做的內(nèi)點(diǎn)，是指存在正實(shí)數(shù)，使得開(kāi)球包含在中。l 任何有限個(gè)開(kāi)(閉)集之交(并)仍然是開(kāi)(閉)集。點(diǎn)集拓?fù)涞幕拘再|(zhì)是：l 空集和全空間都是開(kāi)集（從而都是閉集）。的開(kāi)子集的余集，叫做的閉子集(或者簡(jiǎn)稱閉集)。點(diǎn)集（即）叫做是的開(kāi)子集(或者簡(jiǎn)稱開(kāi)集)，是指對(duì)任何，都存在正數(shù)，使得開(kāi)球包含在中。四、商品空間中的一些拓?fù)涓拍睿ㄒ唬c(diǎn)集拓?fù)渲械南蛄恳步凶鳇c(diǎn)，的子集也叫做點(diǎn)集。的一個(gè)子集族稱為堅(jiān)固的，是指該子集族的每個(gè)集合都是的堅(jiān)固子集。 對(duì)任何,的正部是向量，負(fù)部是向量，絕對(duì)值是向量(也稱為的絕對(duì)向量)。l 是拓?fù)湎蛄靠臻g，即 (A5) 是Hausdorff空間（即拓?fù)錆M足分離公理T2）； (A6) 加法運(yùn)算是從到的連續(xù)映射； (A7) 數(shù)乘運(yùn)算是從到的連續(xù)映射；l 是局部堅(jiān)固的，即（A8）在原點(diǎn)O處具有堅(jiān)固的鄰域基。這種一般的分析框架是阿里普蘭蒂斯(. Aliprantis)、布朗(. Brown)和伯金少(O. Burkinshaw)在1983年用超需求函數(shù)研究經(jīng)濟(jì)均衡時(shí)發(fā)現(xiàn)的，下面給出它的一般定義。線性結(jié)構(gòu)用于進(jìn)行行為合成、伸縮和變向；半序結(jié)構(gòu)用于對(duì)行為進(jìn)行數(shù)量上的比較；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)用于刻畫(huà)行為間的差距和行為的連續(xù)性，而且拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)常常用距離或范數(shù)來(lái)誘導(dǎo)。于是，經(jīng)濟(jì)學(xué)中出現(xiàn)了多種多樣的無(wú)限維商品空間，諸如, 等。我們把差別行為的力度 稱為經(jīng)濟(jì)行為與之間的距離或差距，即很明顯，要斷兩種行為與是否相同，關(guān)鍵要看它們之間的差距是否為零。4. 行為力度任何經(jīng)濟(jì)行為都具有一定的力度。對(duì)于任何，l 與的下確界；l 與的上確界；l 向量叫做的正部；叫做的負(fù)部；叫做的絕對(duì)值?？梢?jiàn)，經(jīng)濟(jì)行為之間的比例關(guān)系是通過(guò)商品空間中數(shù)與向量的乘法運(yùn)算來(lái)表達(dá)的。具體來(lái)說(shuō)，兩種經(jīng)濟(jì)行為與之間具有比例關(guān)系，是指存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得或者。用1乘以經(jīng)濟(jì)行為向量，代表經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的變向，意味著顛倒經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的過(guò)程。例如企業(yè)擴(kuò)大或縮小生產(chǎn)規(guī)模，就是企業(yè)原來(lái)的經(jīng)濟(jì)行為的伸縮。經(jīng)濟(jì)行為的合成，如同物理學(xué)中力的合成一樣，恰好可用商品空間中向量的加法運(yùn)算來(lái)表示。1. 行為合成俗話說(shuō)：“人多勢(shì)重”, 為什么會(huì)這樣呢? 原來(lái)，行為是可以合成的。今后，用符號(hào)等來(lái)表示商品向量，表示
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