經(jīng)濟學(xué)基本概念與工具(已改無錯字)
2023-07-18 22:23:28 本頁面
【正文】 商品1，個單位的商品2，……，個單位的商品。表示商品是消費者真正消費的商品；表示商品是消費者提供的商品，比方說他提供的勞動，因而是負(fù)消費商品；表示商品是消費者既不消費也不提供的商品。對于生產(chǎn)者，商品向量的意義是: 生產(chǎn)者向社會提供個單位的商品1，個單位的商品2，……，個單位的商品。表示商品是生產(chǎn)者真正提供的商品；表示商品是生產(chǎn)者投入的商品，比方說他投入的勞動、原材料及廠房等生產(chǎn)要素，因而是負(fù)供給商品；表示商品是生產(chǎn)者既不投入也不提供的商品。商品向量能夠表達任何經(jīng)濟行為，因此商品空間包括了一切經(jīng)濟行為，是一切經(jīng)濟行為的集合。今后，用符號等來表示商品向量，表示的第個分量。（二）經(jīng)濟行為之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系把經(jīng)濟行為用商品空間來表述，優(yōu)點主要在于可以分析經(jīng)濟行為之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，即商品空間具有一定的框架結(jié)構(gòu)。1. 行為合成俗話說：“人多勢重”, 為什么會這樣呢? 原來，行為是可以合成的。對于經(jīng)濟行為來說，各個消費者的需求合在一起形成社會總需求，各個生產(chǎn)者的供給合在一起形成社會總供給。經(jīng)濟行為的合成，如同物理學(xué)中力的合成一樣，恰好可用商品空間中向量的加法運算來表示。經(jīng)濟行為叫做是經(jīng)濟行為與的合成，是指, 即2. 行為比例經(jīng)濟活動可以伸縮，經(jīng)濟活動的方向可以變化。例如企業(yè)擴大或縮小生產(chǎn)規(guī)模，就是企業(yè)原來的經(jīng)濟行為的伸縮。國民經(jīng)濟按比例發(fā)展，也是經(jīng)濟行為伸縮的表現(xiàn)。用1乘以經(jīng)濟行為向量，代表經(jīng)濟活動的變向，意味著顛倒經(jīng)濟活動的過程。經(jīng)濟行為的伸縮與變向，表現(xiàn)為兩種經(jīng)濟行為之間具有一定的比例關(guān)系。具體來說，兩種經(jīng)濟行為與之間具有比例關(guān)系，是指存在一個實數(shù)使得或者。這個稱為經(jīng)濟行為與之間的比例系數(shù)?？梢姡?jīng)濟行為之間的比例關(guān)系是通過商品空間中數(shù)與向量的乘法運算來表達的。3. 行為比較可以對兩種經(jīng)濟行為進行數(shù)量比較，具體辦法是使用商品空間上的半序關(guān)系、及進行比較：對任何及，半序關(guān)系、分別稱為小于、小于或等于、嚴(yán)格小于關(guān)系。對于任何，l 與的下確界；l 與的上確界；l 向量叫做的正部；叫做的負(fù)部；叫做的絕對值。容易證明：。4. 行為力度任何經(jīng)濟行為都具有一定的力度。如同物理學(xué)中計算力的大小一樣，經(jīng)濟行為的力度就是向量的范數(shù)(模、長度)：行為力度具有如下五條性質(zhì)：lllll(5) 行為差距不同的經(jīng)濟行為之間具有一定的差別，即兩種方案與之存在著商品數(shù)量上的差別，這種差別形成了差別行為。我們把差別行為的力度 稱為經(jīng)濟行為與之間的距離或差距，即很明顯，要斷兩種行為與是否相同，關(guān)鍵要看它們之間的差距是否為零。（三）一般商品空間如果對所有商品進行細(xì)分，以上建立的有限維商品空間框架就不適用于全面描述經(jīng)濟行為。于是，經(jīng)濟學(xué)中出現(xiàn)了多種多樣的無限維商品空間，諸如, 等。然而所有這些具體的商品空間連同前面給出的有限維商品空間一起，具有如下的共性：商品空間是一切經(jīng)濟行為的集合，其上具有線性結(jié)構(gòu)、半序結(jié)構(gòu)及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。線性結(jié)構(gòu)用于進行行為合成、伸縮和變向；半序結(jié)構(gòu)用于對行為進行數(shù)量上的比較；拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)用于刻畫行為間的差距和行為的連續(xù)性，而且拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)常常用距離或范數(shù)來誘導(dǎo)?？梢?，黎斯空間或拓?fù)湎蛄扛袷沁m于描述經(jīng)濟行為的一般框架。這種一般的分析框架是阿里普蘭蒂斯(. Aliprantis)、布朗(. Brown)和伯金少(O. Burkinshaw)在1983年用超需求函數(shù)研究經(jīng)濟均衡時發(fā)現(xiàn)的，下面給出它的一般定義。所謂是一個一般商品空間，是指是由一切經(jīng)濟行為構(gòu)成的集合，并且各種行為之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系使得成為一個拓?fù)湎蛄扛瘢粗写嬖谥€性運算(即加法運算“＋”與數(shù)乘運算)、半序關(guān)系和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，它們服從下面幾條公理：l 是向量格(即黎斯空間)，即 (A1) 是實數(shù)域上的向量空間； (A2) 對任何, 若, 則； (A3) 對任何和, 若且,則； (A4) 對任何,存在上確界和下確界。l 是拓?fù)湎蛄靠臻g，即 (A5) 是Hausdorff空間（即拓?fù)錆M足分離公理T2）； (A6) 加法運算是從到的連續(xù)映射； (A7) 數(shù)乘運算是從到的連續(xù)映射；l 是局部堅固的，即（A8）在原點O處具有堅固的鄰域基。我們對堅固概念作一點解釋。 對任何,的正部是向量，負(fù)部是向量，絕對值是向量(也稱為的絕對向量)。的子集叫做是堅固的，是指對任何的, 如果, 則。的一個子集族稱為堅固的，是指該子集族的每個集合都是的堅固子集。因此，堅固的鄰域基是其中每個集合都是的堅固子集的鄰域基。四、商品空間中的一些拓?fù)涓拍睿ㄒ唬c集拓?fù)渲械南蛄恳步凶鳇c，的子集也叫做點集。集合叫做以點為中心、為半徑的開球；集合叫做以為中心、為半徑的閉球。點集（即）叫做是的開子集(或者簡稱開集)，是指對任何，都存在正數(shù)，使得開球包含在中。的一切開子集的全體，稱作上的拓?fù)?，或稱為點集拓?fù)?。的開子集的余集，叫做的閉子集(或者簡稱閉集)。容易看出，開球是開集，閉球是閉集。點集拓?fù)涞幕拘再|(zhì)是：l 空集和全空間都是開集（從而都是閉集）。l 任何一族開(閉)集之并(交)仍然是開(閉)集。l 任何有限個開(閉)集之交(并)仍然是開(閉)集。設(shè)。點叫做的內(nèi)點，是指存在正實數(shù)，使得開球包含在中。的一切內(nèi)點所構(gòu)成的集合叫做的內(nèi)部，記作int,或記作。凡是以為內(nèi)點的點集，都叫做的鄰域。點叫做的附貼點，是指的任何鄰域都與相交(即任何包含的開集都與相交)。的一切附貼點的全體，叫做集合的閉包，記作cl，或記作。集合的邊界是指集合?？梢宰C明：l 是開集當(dāng)且僅當(dāng)l 是閉集當(dāng)且僅當(dāng)ll 的內(nèi)部是包含在中的最大開集。l 的閉包是中包含的最小閉集。的子集可以看作是的拓?fù)渥涌臻g，其意義是說上的拓?fù)涫窍鄬ν負(fù)?，即子空間的開(閉)子集是指的開(閉)子集與的交集。鑒于此，的子集也就可以叫做子空間或者(拓?fù)?空間。子空間上一切與拓?fù)溆嘘P(guān)的概念，都是相對拓?fù)湟饬x下的概念。子空間叫做是連通的，是指不能寫成兩個不相交的非空閉子集之并。等價地說，的連通性是指不能寫成兩個不相交的非空開子集之并。的連通性還等價于子空間沒有非空的開閉子集(即既開又閉的子集)。從全空間的角度來看，是連通的當(dāng)且僅當(dāng)不存在滿足下面兩個條件的子集和：(1) 且(2) 且（二）緊性與凸性極限是高等數(shù)學(xué)中的基本概念，這里簡單回憶一下空間中的極限。用表示一切正整數(shù)的集合，,為中的一個點列（也叫做序列）。點列收斂于 點，是說：對于的任何一個鄰域，都存在一個自然數(shù)，使得對一切的，都有（這等價于說，對于任何，存在自然數(shù)，使得對一切的，都有）。當(dāng)點列收斂于 點時，記作，或記作，點稱為是點列的極限。利用極限概念，閉集的特征可刻畫為：l 點集是閉集當(dāng)且僅當(dāng)中任何收斂序列的極限仍在中。如果的一族開子集的并集包含了點集（即）, 則稱是的開覆蓋。當(dāng)?shù)娜魏伍_覆蓋都有有限子覆蓋時，稱是緊集。緊集的典型例子是閉區(qū)間[0,1]。拓?fù)鋵W(xué)中證明了下面兩個事實：l 是緊集當(dāng)且僅當(dāng)是閉集并且中的任何序列都有收斂子序列。l 是緊集當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜魏尉哂杏邢藿恍再|(zhì)的(相對)閉集族都具有非空的交。這里，
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