【正文】 21。若γ =士1，表示變量x 、y完全線性相關，擬合直線通過全部實驗點；相反，如果遠小于1，而接近于零，說明x與y不相關，不能用線性函數(shù)擬合。如果實驗是要通過x、y的測量數(shù)據(jù)來尋找經(jīng)驗公式，那么還應判斷由上述一元線性擬合所找出的線性回歸方程是否恰當，這可以用相關系數(shù)γ來判別： 相關系數(shù)γ表示兩個變量之間的關系與線性函數(shù)符合的程度?？梢宰C明，在前述假定只有yi有明顯隨機誤差的條件下，a和b的標準偏差可以用下列兩式來估算。2．yi、a、b的誤差估算一般地說，一列測量值yi的偏差vi大（即數(shù)據(jù)點對直線的偏離大），那么由這列數(shù)據(jù)求出的a、b值的誤差也大，由此確定的回歸方程的可靠性就差；如果一列測量值的偏差vi小，那。那么每一次的測量值yi與按方程（y = a＋b xi）計算出的y值之間的偏差為 根據(jù)最小二乘法原理，a、b的取值應該使所有y方向偏差平方之和即為最小值?，F(xiàn)由實驗等精度地測得一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn ； yI ，y2，…，yn 。最小二乘法線性擬合的原理是：若能找到一條最佳的擬合直線，那么該擬合直線上各點的值與相應的測量值之差的平方和，在所有的擬合直線中應該最小。限于本課程的教學要求，我們只討論用最小二乘法進行一元線性擬合。由最小二乘法所得的變量之間的函數(shù)關系稱為回歸方程。不同的人，用同一組數(shù)據(jù)作圖，由于在擬合直線（或曲線）時，有一定的主觀隨意性，因而擬合出的直線（或曲線）往往是不一樣的。自變量與因變量之間為多項式函數(shù)關系時，可采用多次逐差法，在這里不做介紹。逐差法具有充分利用數(shù)據(jù)、減小誤差的優(yōu)點。欲求每增加一個祛碼時標尺讀數(shù)增大量的平均值，如果不采用逐差法，則 可見中間值全部消掉，只有始末兩個測值起作用，這與一次加7個祛碼的單次測量等價。設兩個變量之間滿足線性關系 ，且自變量 x 是等間隔變化。三、逐差法逐差法也是一種常用的數(shù)據(jù)處理方法，特別是當自變量與因變量成線性關系，而自變量為等間距變化時，用逐差法處理更具有獨特的優(yōu)點。這樣對于實驗數(shù)據(jù)的處理會很方便。如果橫坐標原點不是零，則由下式求得：為了便于計算，和兩數(shù)值可取為整數(shù)。（1）求斜率b在直線的兩端任取兩點A（x1,y1）,B (x2,y2),用不同于測量值坐標點的符號標出，并注明坐標點讀數(shù)，如圖一，為了減少誤差，A、B兩點的距離應盡量選得遠一些。如果自變量 和因變量 之間有 的關系，則圖中的數(shù)據(jù)點將基本分布在一條直線附近；反之，如果圖中的數(shù)據(jù)點基本成一條直線，就能用（或近似用） 來描述自變量 和因變量 之間的函數(shù)關系。在畫圖線時，如果發(fā)現(xiàn)個別偏離圖線過大的點，應重新審核，進行分析決定取舍。根據(jù)不同情況，把數(shù)據(jù)點連成直線或光滑曲線。力求與測量數(shù)據(jù)對應的坐標準確地落在“”，每條曲線可用不同標記，如“＋”、 “⊙”、“△”等符號，以示區(qū)別。為便于讀數(shù)和描點，選定比例時，應使最小分格代表1”、2”、“5”、“10”等，而不要用“3”、“6”、“7”、“9”來劃分標尺。在坐標軸上，按選定的比例標出若干等距離的整齊的數(shù)值標度。為了使圖線在坐標紙上布局合理和充分利用坐標紙，坐標軸的起點不一定從變量的“0”開始。(2)定坐標軸與坐標標度通常以橫坐標表示自變量（一般為誤差較小的物理量），縱坐標表示因變量。坐標紙的大小應根據(jù)所測數(shù)據(jù)的有效數(shù)字和對測量結果的要求來確定。作圖法有多次測量取平均的效果，并易于發(fā)現(xiàn)測量中的錯誤，還可以把復雜的函數(shù)關系簡化。二、作圖法作圖可把一系列數(shù)據(jù)之間的關系或其變化情況直觀地表示出來。列表的基本要求：，寫明所列表格的名稱；，便于看出有關量之間的關系，便于進行計算處理；，名稱應盡量用符號表示，單位和數(shù)量級寫在該符號的標題欄中；；，并作簡要的說明。一、列表法在記錄和處理數(shù)據(jù)時，經(jīng)常把數(shù)據(jù)列表成表格，這是最基本和最常用的方法。所謂數(shù)據(jù)處理就是對實驗數(shù)據(jù)進行記錄、整理、計算、作圖等處理，使之反映出事物的內(nèi)在規(guī)律或得到最佳結果。 思考題？；；；；：＝6 371 km = 6 371 000 m = 637 100 000 cm；L =( + )102 kmt =( + )s mm、 mm、 mm、 mm、 mm、 mm, mm，試求鋼球體積的測量結果。這就是微小誤差準則。 （1）高度h的最佳值及不確定度： mm = mm （按肖維涅準則檢查無壞值） =游標卡尺的示值極限誤差Δm= mm因此得 mm （中間運算，多取一位） （2）直徑D的最佳值及不確定度： mm = mm （按肖維涅準則檢查無壞值） = mm一級千分尺的示值極限誤差Δm= mm因此得 mm （3）密度的算術平均值： = g/cm3 （4）密度的不確定度： ==%因此得： % = g/cm3 （5）密度測量的最后結果為： = (+) g/cm3 (P=%) E()= % 當合成不確定度來自多個分量的貢獻時，常?？赡苤挥幸?、二項或少數(shù)幾項起主要作用。例 已知質(zhì)量m = (+)g，（P=%）的銅圓柱體，用0~125mm；用一級0~25mm千分尺測量其直徑D也是六次，其測值列入下表（設儀器零點示值均為零），求銅的密度。 對于以加減運算為主的函數(shù)，先用式（22）求不確定度u(N)，再用求相對不確定度比較簡便；而對以乘除運算為主的函數(shù)，則先用式（23）求出其相對不確定度E（N），再用求不確定度比較簡便。 當直接測量量,y,z,…彼此獨立時，間接測量量N的不確定度為各分量的均方根： （22） （23）求均方根時要保證各項是獨立的。因為不確定度是一個微小量，故可以借助于微分手段來研究。在間接測量中，可以證明…)為間接測量量的最佳值，即間接測量量的最佳值由各直接測量量的算術平均值代入函數(shù)關系式而求得。 三、間接測量量的不確定度評定 設間接測量量N與直接測量量,y,z,…的函數(shù)關系為 N = f (,y,z,…) (19)由于,y,z具有不確定度u(),u(y),u(z),…，N也必然具有不確定度u(N),所以對間接測量量N的結果也需采用不確定度評定。在實際測量中，有些量是隨時間變化的，無法進行重復測量；也有些量因為對它的測量精度要求不高，沒有必要進行重復測量；還有些量由于儀表的精密度較差，不能反映測量值的隨機誤差，幾次測量值都相同，這時可按單次測量來處理。經(jīng)檢查，無壞值。＝；修正千分尺的零點誤差：D＝(D`－)mm，填入上表第三行；用一級千分尺對一小球直徑測量8次，測量結果見下表第二行數(shù)據(jù)，試處理這組數(shù)據(jù)并給出測量結果。（6）計算不確定度B類分量；（4）審查各測值，如有壞值則予以剔除，剔除后再重復步驟(2)、(3)（2）計算測量列的算術平均值作為測量結果的最佳值；假設某直接測量量為X，其不確定度評定的步驟歸納如下：　 E(T)＝％這一測量列的相對不確定度為例如，經(jīng)計算，求出置信概率P=%，其結果應表示為截取時，剩余尾數(shù)按“小于5舍去，大于5進位，等于5湊偶”的規(guī)則修約。在本課程中為了教學規(guī)范，我們約定對測量結果的合成不確定度（或總不確定度）只取一位有效數(shù)字，相對不確定度可取兩位有效數(shù)字。對于測量結果，同時還可以用相對不確定度表示： (18)這里應特別注意兩點：按照國際計量局1980年的建議書，直接測量量的測量結果可表示為 (單位)　　　（P= …） (17)待測量的不確定度服從正態(tài)分布時，對應于置信概率P=%，近似地取k=1；對應于置信概率P=95%，近似地可取k＝2；對應與置信概率P=%，k＝3。在許多情況下，需要采用95%、99%%等較高的置信概率。在各不確定度分量相互獨立的情況下，將兩類不確定度分量按“方和根”的方法合成，構成合成不確定度，即　　　　　　　　　　　　　　　　　 （16）本講義中，我們一律將c取為，即　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?5）二、直接測量結果的不確定度評定因子c與儀器誤差的分布規(guī)律有關。在實驗中盡管有多方面的因素存在，本講義中一般只考慮儀器誤差這一主要因素。不確定度A類分量uA:多次重復測量，用統(tǒng)計方法求出的分量。由于誤差的來源很多，測量結果的不確定度一般也包含幾個分量。嚴格的不確定度理論比較復雜。國家技術監(jiān)督局決定于1992年10月1日正式開始采用不確定度進行誤差的評定工作。1981年，第17屆國際計量大會通過了采納“建議書”的決議。 其中，u值可以通過一定的方法進行估算，稱為不確定度，它表征真值以某置信概率存在的范圍，是對測量結果不確定性的度量。所以，對某一物理量進行測量，我們只能知道測量值N與真值N0之差的絕對值以一定概率分布在u ~ u之間，用公式表示為 （置信概率為P） （13）前面對測量中可能存在的各種誤差做了簡單介紹。一、測量不確定度的基本概念4為了彌補這一缺陷，目前普遍采用“小于五舍去，大于五進位，等于五湊偶”的規(guī)則來修約。最后表達結果時，有效數(shù)字的取位再由不確定度的所在位來一并截取。 以上所述有效數(shù)字的運算規(guī)則，只是一個基本原則，在實際問題中，為防止多次取舍而造成誤差的累積效應，常常采用在中間運算時多取一位的辦法。例如，=. ，函數(shù)