淺談代數(shù)推理題的解法(參考版)
2025-06-10 20:28本頁面
【正文】 如果函數(shù)有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且 （1）求函數(shù)的解析式； （2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)； （3）如果數(shù)列滿足，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立. 講解: 依題意有,化簡為 由違達(dá)定理, 得 解得 代入表達(dá)式，由得 不止有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)， （2）由題設(shè)得 （*）且 （**）由（*）與（**）兩式相減得： 解得（舍去）或，由，若這與矛盾，即{是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，； （3）采用反證法，假設(shè)則由（1）知,有，而當(dāng)這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，. 關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實(shí)上: 由得0或 結(jié)論成立； 若，此時(shí)從而即數(shù)列{}在時(shí)單調(diào)遞減，由，可知上成立. 比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學(xué)解題后需要進(jìn)行必要的反思, 學(xué)會(huì)反思才能長進(jìn). 例8 設(shè)a，b為常數(shù)，：把平面上任意一點(diǎn) （a，b）映射為函數(shù) （1）證明：不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對應(yīng)于同一個(gè)函數(shù)； （2）證明：當(dāng)，這里t為常數(shù)； （3）對于屬于M的一個(gè)固定值，得，在映射F的作用下，M1作為象，求其原象，并說明它是什么圖象. 講解: （1）假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)（a，b），（c，d）對應(yīng)同一函數(shù)，即與相同，即 對一切實(shí)數(shù)x均成立.特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，假設(shè)不成立.故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對應(yīng)同函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，可得常數(shù)a0，b0，使=由于
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