【正文】 Rader, T. (1963), “Existence of a Utility Function to Represent Preferences,” Review of Economic Studies, 30, October.Takayama, A (1976), Mathematical Economics, 2nd Edition, Cambridge University Press, Reprinted 1986.21 / 22。—— (1998)，“有效區(qū)域和擴(kuò)展CES效用函數(shù)”，《數(shù)量經(jīng)濟(jì)與技術(shù)經(jīng)濟(jì)》第15卷，第11期。MasColell (1985), A. The Theory of General Economic Equilibrium: A differentiable approach, Cambridge University Press.McKenzie, L. W. (1957), “Demand Theory without a Utility Index,” Review of Economic Studies, XXIV, June.Mendelson, B. (1962), Introduction to Topology, Blackie amp。同理可證：對(duì)于包含任意多變量的EUF，x和y都不可能是內(nèi)的元素，就是說(shuō) 單值。 這樣就必然嚴(yán)格優(yōu)于上的飽和點(diǎn)，從而有，即。由于上沒(méi)有臨界點(diǎn)，而且，因而對(duì)于任意的，這意味著在內(nèi)的極值點(diǎn)（最大值和最小值）一定是或（）。在圖7中，我們可以看到（即）與相交于，兩點(diǎn)，圖中箭頭表示沿某一特定路徑遞增的方向。圖 7剩下的工作是要證明：即使的某些點(diǎn)不在有效區(qū)域E內(nèi)，x和y也同樣不可能是中的元素。如果連接x和y的線段（）完全位于E內(nèi)，則由條件1（在E內(nèi)嚴(yán)格準(zhǔn)凹）可知，對(duì)任意，有成立。由于是中任意一點(diǎn)，我們有。由于在E上嚴(yán)格遞增，則必然成立，而這與我們的假定相矛盾。假定，則，由于在上不存在臨界點(diǎn)，我們有。如果，那么，我們至少可以找到另一個(gè)點(diǎn)使得，即。如果則同樣根據(jù)條件1，E可能不包含下邊界中象這樣使得并且的點(diǎn)，即。令為E的閉包，顯然是一個(gè)緊致集合，由于在X上處處連續(xù)，則必然存在一點(diǎn)使得取極大值（）。（2） （瓦爾拉斯定律）：證明：，對(duì)于、在預(yù)算集約束下，以“?”為其偏好次序的消費(fèi)者的需求集合將位于的范圍內(nèi)，即。（1） E是的有效區(qū)域：證明：由于是在E上嚴(yán)格遞增并且,必然是屬于的相對(duì)飽和需求，即。證畢為了證明是一個(gè)EUF，我們要證明：（1）E是的有效區(qū)域，導(dǎo)出一個(gè)需求函數(shù)（2）滿足瓦爾拉斯定律并且（3）是單值的。這與上不存在臨界點(diǎn)的要求相矛盾，所以。證明：假定()并且，這意味著是下列數(shù)學(xué)規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)解:, subject to 。：令為由導(dǎo)出的需求函數(shù)。所以必然為真，的任意性使得成立。然而，以及意味著，從而要求必需成立。不失一般性，我們假定，令，即x’是上的相對(duì)飽和點(diǎn)，則有。：證明（參考圖6）：令，：。就此而言，為了最終發(fā)展出一個(gè)能夠精確模擬現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的可計(jì)算一般均衡模型，有效效用研究是一個(gè)必不可少的步驟。MasColell（1985）曾說(shuō)：“我們的目標(biāo)……不僅僅是要證明需求函數(shù)的存在，我們要求它們是光滑的。有鑒于此，EUF使我們有可能建立一些具有充分現(xiàn)實(shí)意義的效用函數(shù)（祁曉冬1996，1997，1998，2001）。EUF恰恰正是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的必要手段。要想實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，我們必需對(duì)個(gè)體消費(fèi)者的行為給出一個(gè)比CES或CobbDouglas效用函數(shù)更加清晰的描述。EUF，進(jìn)而整個(gè)有效效用研究的重要意義在于這樣一個(gè)事實(shí)：在經(jīng)濟(jì)理論中，需求函數(shù)是一個(gè)必不可少、然而卻十分不便的描述消費(fèi)者個(gè)體經(jīng)濟(jì)行為的工具，它完全依賴于一個(gè)良性效用函數(shù)的存在。因此，EUF概念的引入大大地?cái)U(kuò)大了現(xiàn)有可用效用函數(shù)的家族，使得NUF成為這一新家族的一個(gè)當(dāng)有效區(qū)域覆蓋整個(gè)消費(fèi)集合時(shí)的一個(gè)子集。6. 結(jié)論本文給出了飽和定律的一個(gè)正式證明，并且建立了有效效用函數(shù)的概念，它可以取代新古典效用函數(shù)而作為可用直接效用函數(shù)的一個(gè)通用形式。顯然，這一區(qū)別對(duì)兩者作為EUF原函數(shù)的有用性不產(chǎn)生任何影響。是一個(gè)EUF。由于原點(diǎn)是（）式的唯一解，因而上不存在在臨界點(diǎn)，從而滿足了條件2。與此同時(shí)，對(duì)于任意一，、（）均成立，而且。我們由此可以得到有效區(qū)域：. 如果()代表一個(gè)真實(shí)的偏好次序，則有效區(qū)域?qū)⒏采w整個(gè)，因?yàn)椴淮嬖谌魏物柡忘c(diǎn)。由于，所以可寫成，其中187。這就是說(shuō)，不能導(dǎo)出一個(gè)良性需求函數(shù)，然而，我們將證明：事實(shí)上完全可以成為一個(gè)EUF的原函數(shù)。預(yù)算線H與無(wú)差異曲線相切于、兩點(diǎn)。于是自然會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)疑問(wèn)：為什么我們要采用形式，而不是直接使用？下面的例子將回答這一問(wèn)題。細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，在上述例子中，如果我們直接使用而不是將其有效區(qū)域外的部分指定為165。不存在臨界點(diǎn)條件的另一個(gè)含義是有效區(qū)域必需是無(wú)界的。然而左圖中有效區(qū)域的兩個(gè)部分僅由一個(gè)單一的臨界點(diǎn)相連。圖 4通過(guò)仔細(xì)的圖形分析，我們可以發(fā)現(xiàn)：在上邊界上存在臨界點(diǎn)可能導(dǎo)致有效區(qū)域內(nèi)部的不連通。從左右兩圖的無(wú)差異曲線的形狀上不難看出，在有效區(qū)域（非陰影部分）內(nèi)是嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格準(zhǔn)凹的。如果c是上的一個(gè)臨界點(diǎn)，則和必然同時(shí)成立，這意味著c是下面的聯(lián)立方程的一個(gè)解：解方程，顯然，當(dāng)時(shí)聯(lián)立方程無(wú)解，從而臨界點(diǎn)不存在；當(dāng)時(shí)，存在唯一的臨界點(diǎn)(6, 6)，當(dāng)時(shí)，總是存在兩個(gè)臨界點(diǎn)。從和，我們分別獲得了兩條上邊界和：和由此我們找到了（）式的有效區(qū)域：兩條邊界函數(shù)顯然在X上是處處連續(xù)的，從而滿足了條件1。（）是否有資格成為一個(gè)EUF的原函數(shù)。然而，如果我們仔細(xì)觀察在非陰影區(qū)的形狀，我們將發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的和，總能在此區(qū)域內(nèi)找到一個(gè)最優(yōu)選擇。圖 3右圖左上和右下角標(biāo)出的箭頭代表效用在陰影部分增加的方向，交叉陰影部分低于原點(diǎn)。在這樣的標(biāo)準(zhǔn)下，下面的函數(shù)被排斥了： 其中是一個(gè)可以改變性狀的參數(shù)。，一個(gè)NUF至少在上是嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格準(zhǔn)凹的。盡管這不是一個(gè)可以接受的嚴(yán)格的證明方法，然而我們眼下的目的僅在于說(shuō)明問(wèn)題，因此也就不必太過(guò)苛求嚴(yán)謹(jǐn)。幸運(yùn)的是，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，現(xiàn)在我們只需通過(guò)幾次簡(jiǎn)單的鍵盤敲擊，就能在屏幕上描繪出一個(gè)函數(shù)的直觀圖形。這就是說(shuō)，我們不得不計(jì)算所有的偏導(dǎo)數(shù)以及加邊海賽因矩陣的主子式（）。本節(jié)我們通過(guò)兩個(gè)具體實(shí)例來(lái)展示新的標(biāo)準(zhǔn)是如何被應(yīng)用的。167。條件1保證預(yù)算約束下的最優(yōu)點(diǎn)不會(huì)出現(xiàn)在X的下邊界內(nèi)，換句話