概率論第十六講中心極限定理(參考版)
2025-05-15 18:47本頁面
【正文】 設(shè)隨機(jī)變量序列 12, , , ,nX X X相互獨(dú)立 , 且有期望和方差： 2( ) , ( ) 0 , 1 , 2 ,i i i iE X D X i n??? ? ? ?令 1nniiYX?? ?1()nniiEY ??? ?則 21()nniiDY ??? ?( ) ( ) ,()n n n nnnnY E Y Y E YZsDY???? ( ) 0nEZ ? ( ) 1nDZ ?定理 1 林德伯格（ Lindberg） 定理 設(shè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量 ?? , 21 nXXX滿足 林德伯格條件，即 0,??? 有 22 ||11l i m ( ) ( ) 0inniixSninx u f x d xs ?????? ???? ?其中， ()ifx是隨機(jī)變量 iX的概率密度 ? ?221l im2txnn P Z z e d t???????? ?)( x??21 2()1l im2ntiixinnXP z e d ts?????????????????????其中， z 是任何實(shí)數(shù) 則 n →∞ ，有 林德伯格定理的意義 : 被研究的隨機(jī)變量可以被表示為， 許多相互獨(dú)立隨機(jī)變量的和 ,其中 , 則這個(gè)總和服從 或近似服從正態(tài)分布 . 每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用 , 定 理 二 林德伯格 列維中心極限定理 [ 獨(dú)立同分布的中心極限定理 ] 定 理 三 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理 [ 二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布 ] (Lindberglevi) (De MoivreLaplace) 獨(dú)立同分布的中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量序列 ?? , 21 nXXX獨(dú)立同一分布 , 且有期望和方差： ?,2,1,0)(,)( 2 ???? kXDXE kk ??則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x , ???????????????????
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