【正文】 庫諾特模型還可以用幾何圖形的方法找出均衡解。 因為寡頭壟斷產(chǎn)量 q 較低，相應(yīng)的市場價格 p ( q ) 就比較高，在這一價格下每家企業(yè)都會傾向于提高自己的產(chǎn)量，而不顧這種產(chǎn)量的增加會降低市場價格。 比如， q1＝ q2＝ q */ 2 ＝ ( a － c ) /4就可以滿足這一條件。 相比之下， ( a － c )2/4 ( a － c )22/9 ，這就是說寡頭壟斷獲得的利潤要高。設(shè)寡頭壟斷企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量為 q*，這時最優(yōu)化問題是 ? ?0m a xqq a q c? ? ? ???容易算出，最優(yōu)產(chǎn)量 q * ＝ ( a － c ) /2 。 112121222020ua q q cqua q q cq????? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ?? ??…….. () 那么，要使產(chǎn)量成為納什均衡，由式（ ）可知，兩個企業(yè)的產(chǎn)量選擇必須滿足方程組 ? ?? ?12211212q a q cq a q c?????? ? ????? ? ? ???……. () 解方程組（ ），得均衡解為 ? ?12 13q q a c??? ? ? 這時，將上式代入式（ ）。上述不等式組等價于對企業(yè) 1 和企業(yè) 2 ， q 1 * ， q 2 * 應(yīng)為下面最優(yōu)化問題 ? ? ? ?? ? ? ?1 1 12 2 21 1 2 1 1 202 1 2 2 1 20m ax , m axm ax , m axq S qq S qu q q q a q q cu q q q a q q c??? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ??? ? ? ???????? ? ? ????? ……………………..() 的解。 接下來就需要把企業(yè) 企業(yè) 2的收益表示為它自己和另一企業(yè)所選戰(zhàn)略的函數(shù)。也許有的讀者會提出，特別大的產(chǎn)量是不可能的，因而不應(yīng)包括在戰(zhàn)略空間之中。假定產(chǎn)品是連續(xù) 可分割的，由于產(chǎn)出不可能為負，因此每個企業(yè)的戰(zhàn)略空間就可表示為 S1＝ S2=[0 ,+∞ ）。雙寡頭壟斷競爭模型中當(dāng)然只有兩個參與者，即模型中企業(yè) 1 和企業(yè) 2 。 ② 每一參與者可以選擇的戰(zhàn)略。 為求出庫諾特博弈中的納什均衡，首先要將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)博弈。 設(shè)企業(yè) I 生產(chǎn) qi的總成本為 Ci( qi)＝ cqi（ i ＝ 1 , 2 ），即企業(yè)不存在固定成本，且生產(chǎn)每單位產(chǎn)品的邊際成本為常數(shù) c ，這里假定 c ＜ a 。設(shè)企業(yè) 1 ，企業(yè) 2 的產(chǎn)量分別為 qq2，總供給 Q ＝ q1+ q2。這里只討論庫諾特模型的一種非常簡單的情況。 （一）、庫諾特（ Cournot）雙寡頭壟斷競爭模型 庫諾特 (1 838 ) 早在一個多世紀(jì)之前，在特定的雙寡頭壟斷競爭模型中就提出了納什（ 1 95 0 ）所定義的均衡。注意到這些例題中的戰(zhàn)略空間 Si都是一個區(qū)間，戰(zhàn)略 si都是在區(qū)間上取值的連續(xù)變量。②如何通過計算解出博弈的納什均衡。 二、 納什均衡應(yīng)用舉例 本節(jié)集中研究分析經(jīng)濟學(xué)中幾個博弈問題，這些也是博弈論的經(jīng)典之作。并且對該博弈的兩個納什均衡（歌劇，歌?。┖?(拳擊 ,拳擊 )不論實際實施哪一個均衡結(jié)果，總有一方感到有點委屈。 帕特 圖 2 － 7 性別戰(zhàn)博弈 歌劇 拳擊 歌劇 2,1 0,0 克 瑞絲 拳擊 0,0 1,2 這個例子得出的是： (歌劇 ,歌劇 )和 (拳擊 ,拳擊 )都是納什均衡。帕特希望能一起看拳擊比賽，克瑞絲則希望能一起欣賞歌劇。 不在同一地方工作的帕特和克瑞絲都希望兩人能在一起度過 一個周末的夜晚，而不愿分開。這又會使讀者提出第二個問題：在一些有多個納什均衡的博弈中，能不能找出一個均衡作為預(yù)測結(jié)果更加合理呢？這兩個問題的解決，將有助于博弈理論應(yīng)用于各種不同的實際領(lǐng)域。嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡、逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡并不一定能找到，讀者很自然會 提出這樣的問題：納什均衡作為博弈的解，條件更強了，那么一個博弈的納什均衡是否一定存在呢？已經(jīng)看到，一個博弈的納什均衡可能不是唯一的。如果按 B2→ A2→ B1→ A3順序剔除弱劣戰(zhàn)略，產(chǎn)生均衡結(jié)果( A1, B3) ，而 ( A1, B1) 又被剔除了。在圖 2 － 5 所示博弈中，不難檢驗 ( A1, B1) 與 ( A1, B3)都是納什均衡。 上式與納什均衡 **1( , , )nss 應(yīng)滿足不等式（ NE ）的條件式矛盾的。假定在納什均衡 **1( , , , )nss中 s i * 是首先被剔除的嚴(yán)格劣戰(zhàn)略，那么 S i 中一定存在尚未被剔除的 s i″ 嚴(yán)格優(yōu)于 s i * ，應(yīng)有 ? ? ? ?*1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s? ? ? ????上式對所有其他參與者尚未被剔除的戰(zhàn)略空間中可 能形成的戰(zhàn)略組合 ? ?1 1 1, , , , ,i i ns s s s??都成立。 (3) 如果戰(zhàn)略組合是納什均衡，那么它一定不會被逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除。反例可以從圖 2－ 6所示博弈看出。 這里就不作嚴(yán)格的論證了。劃橫線就是上面說的情形，反之，在圖 2 － 6 看出， s * ＝ ( 下 , 右 ) 是 納什均衡，但博弈中根本不存在嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略，當(dāng)然也就談不上存 在嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡。這時該行與該列的交叉單元 的收益，量數(shù)值下面都劃上了橫線，由此產(chǎn)生了納什 均衡。 在兩人博弈的雙變量矩陣中，更可以直觀理解上述含義。 (1) 每一個嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡一定是納什均衡，反之不然。因此該單元對應(yīng)的戰(zhàn)略組合就不是雙方同時愿意接受的結(jié)果，因而也就構(gòu)不成納什均衡。最后由形成的圖 2 － 6 發(fā)現(xiàn)，右下角單元( 2 , 4 ) 兩個收益值下面都被劃上橫線，則對應(yīng)的 s * ＝ ( 下 , 右 )就是一個納什均衡。 參與者 2 圖 2 － 4 左 中 右 上 3,3 4,1 1,2 中 4,0 0,2 1,1 參與 者 1 下 2,4 2,3 2,4 首先，在雙變量矩陣的三列中，分別找出第一個分量的最大值 4 、 4 、 2 ，并在它們下面劃一道橫線。最后，如果雙變量矩陣中某個單元的兩個收益值下面都被劃線，那么這個單元對應(yīng)的戰(zhàn)略組合就是一個納什均衡。對于參與者 2 一個給定的戰(zhàn)略，也就是在雙變量矩陣每一列中，找出參與者 1 的最優(yōu)戰(zhàn)略 ，并在相應(yīng)的收益下面劃一道橫線（即在雙變 量矩陣的每一列中，找出雙變量中第一分量的最大者，在其下面劃一道橫線）。對于兩人有限博弈，參與者的收益函數(shù)由雙變量矩陣給出時，尋求納什均衡有一個簡單方法 —— 劃線法。同樣可以用定義中的不等式（ NE ）檢測智豬爭食博弈中 s * ＝ ( s 1 * , s 2 * ) ＝( 拱 , 不拱 ) 是一個納什均衡。但是戰(zhàn)略組合 s ＇ = ( 沉默 , 沉默），由于 s * ＝ ( s 1 * , s 2 * )對 i ＝ 1 ，有 u 1 ( 沉默 , 沉默 ) ＝－ 10 = u 1 ( 坦白 , 沉默 ) 。比如，在囚徒困境中，對參與者 1（囚徒 1）選 s1*＝坦白，對參與者 2（囚徒 2）選 s2*＝坦白。對給定的博弈，如果參與者之間要商定一個協(xié)議決定博弈如何進行，那么一個有效的協(xié)議中的戰(zhàn)略組織必須是納什均衡的戰(zhàn)略組合，否則至少有一個參與者會不遵循該協(xié)議?？疾煲粋€戰(zhàn)略組合1( , , , , )ins s s s? ? ? ??，如果說 s ＇不是 G 的一個納什均衡，就意味著存在若干參與者 i ，其戰(zhàn)略 si＇不是針對1 1 1( , , , , , )i ii i ns s s s s??? ? ? ? ?的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略，即在 S i ＇ 中存在is ?? ，使得 ? ? ? ?1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 這就表明，如果一個戰(zhàn)略組合1( , , , , )ins s s? ? ?不是納什均衡，那么至少有一個參與者有動因偏離這個結(jié)果。 定義 在 n 個參與者標(biāo)準(zhǔn)式博弈 G ＝ { S1,…, Sn； u1, … , un}中，如果對于每一個參與者 i ( i ＝ 1 , 2 , … , n ) ， si* 是針對其他 n － 1 個參與者所選戰(zhàn)略 ( s1* , … , s*i － 1, s*i + 1, … , sn* ）的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略，即 * * * * * * * * *1 1 1 1 1 1( , , , , , , ) ( , , , , , , )i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s? ? ? ??，（ NE ） 對 Si中所有的 si都成立，亦即 si* 是最優(yōu)問題 * * * *1 1 1ma x ( , , , , , , ) , 1 , 2 , ,iii i i i nsSu s s s s s i n???? 的解，則戰(zhàn)略組合 * * * *1( , , , , )ins s s s?稱為一個納什均衡。其次，遵循理論結(jié)果產(chǎn)生的效用不會小于偏離理論結(jié)果時的效用，也就是沒有參與者愿意單獨偏離理論給他選定的戰(zhàn)略，這種理論導(dǎo)出的結(jié)果時一種“戰(zhàn)略相對穩(wěn)定”狀態(tài)。其中， si*是理論上導(dǎo)出的參與者 i的戰(zhàn)略?？梢赃@么說，沒有任何一個戰(zhàn)略組合嚴(yán)格優(yōu)于納什均衡。其次，嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡一定就是博弈問題的惟一的納什均衡。 （四）、納什（ Nash）均衡 納什均衡是完全信息靜態(tài)博弈的解的一般概念，它是對非常廣泛博弈問題給出更加嚴(yán)格的結(jié)果。如果改用逐步剔除弱劣戰(zhàn) 略的方法，就會發(fā)現(xiàn)，如果按 A 3 → B 3 → B 2 → A 2 順序逐步剔除弱劣戰(zhàn)略，產(chǎn)生的均衡結(jié)果是 （ A 1 , B 1 ）；如果按 B 2 → A 2 → B 1 → A 3 順序逐步剔除弱勢戰(zhàn)略，產(chǎn)生的均衡結(jié)果是（ A 1 , B 3 ）下面將會看到 ( A 1 , B 1 ) 和（ A 1 , B 3 ）都是圖 2 － 5 所示博弈的解。 考察下面圖 2－ 5所示的博弈問題。若下式 ? ? ? ?1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , , , ,i i i i n i i i i nu s s s s s u s s s s s? ? ? ?? ???對其他參與者由其戰(zhàn)略空間1 1 1, , , , ,i i nS S S S??中的戰(zhàn)略形成的每一種可能的戰(zhàn)略組合1 1 1( , , , , , )i i ns s s s??都成立，則稱 s i ＇相對于 s i ″ 是弱 劣 戰(zhàn)略，且對于某些戰(zhàn)略組合1 1 1( , , , , , )i i ns s s s??上式嚴(yán)格不等式成立。因為，如果戰(zhàn)略 si＇ 嚴(yán) 格 劣 于 戰(zhàn) 略 si″ 對 所 有1 1 1( , , , , , )i i ns s s s??都成立，那么自然 對1 1 1( , , , , , )i i ns s s s??的一部分也成立。顯然，參與者的戰(zhàn)略空間越大，剔除的步驟就越多，對共同知識的要求就越嚴(yán)格。只有在“參與者 2是理性的，且參與者 1知道參與者 2是理性的”條件下，圖 2－ 1的博弈才能簡化為圖 2－ 2的情形。 參與者 2 圖 2 － 4 左 中 右 上 3,3 4,1 1,2 中 4,0 0,2 1,1 參與 者 1 下 2,4 2,3 2,4 另外，嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡和逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡對參與者理性的要求是不同的。圖 2 － 4 所示的博弈，既找不到嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略均衡，也找不到逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略均衡（可以看出，一開始在兩個參與者各自的戰(zhàn)略空間 S1＝ { 上，中，下 } 與 S2＝ { 左，中，右 } 中就找不出嚴(yán)格劣戰(zhàn)略）。如果逐步剔除后剩下的戰(zhàn)略組合不唯一，那么這個博弈是逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略不可解的。如果這種唯一的戰(zhàn)略組合是存在的，則稱該博弈是逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略可解的。 上面的過程是一個逐步剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略最終找到均衡的過程，這就形成下面的概念。這時，如果