【正文】 由于小波基具有尺度和位移兩個參數(shù)，將函數(shù)用小波基展開就意味著將其投影到二維的時間－尺度平面上，使變換結(jié)果同時具有時頻局部特性。 21 , bbb ??t02 ?0?20?1b2b時 寬頻 寬21 /a ?1?a2?a圖 小波時頻窗的示意圖 Digital Image Processing 3. 連續(xù)小波變換 稱為函數(shù) f(t)的連續(xù)小波變換 CWT，其中 表示內(nèi)積運算。 小波變換及在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用 101( , )( , )aaabab??????? ? ? ??Digital Image Processing 小波變換及在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用 圖 、頻窗的對應(yīng)關(guān)系圖。尤其是時、頻窗寬，一個伸展時另一個就縮小，反之亦然，但時窗寬和頻窗寬的乘積，即連續(xù)小波的窗口面積并不隨 a 和 b 而變。 小波變換及在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用 )(t?? ?1 / 2, ( ) , , , 0tbab at a a b R a?? ? ?? ? ?)(, tba?)(t?Digital Image Processing 小波變換及在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用 (b) (c) 圖 母波及其平移、伸縮后得到的小波基示例 （ a）一個母波，（ b）平移得到的小波基，（ c）再伸縮得到的小波基。其中 a稱為伸縮因子（也稱尺度因子），它決定一個特定基函數(shù)的伸縮性質(zhì)， b稱為平移因子。 設(shè) ，其傅立葉變換為 ，滿足條件： 則稱 為一個基本小波或小波母函數(shù)（簡稱母波），并稱上式為小波函數(shù)的可允許條件。 小波變換及在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用 Digital Image Processing 小波變換發(fā)展了加窗傅立葉變換的局部化思想，其窗寬是自適應(yīng)可變的，在高頻時使用窄窗口，在低頻時則使用寬窗口。即應(yīng)給 出一可調(diào)時頻窗，而加窗傅立葉變換是固定窗，不 能很好地刻畫出信號的時域特性。 但加窗傅立葉變換仍存在一定的不足： 其一，因為窗函數(shù)一旦選定，其大小和形狀就是固定不變 的，這樣就不能自適應(yīng)地反映信號的突變，而信號 的突變在很大程度上就反映了目標(biāo)的特征信息。即 其中 g(x)稱為窗函數(shù)。 小波變換及在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用 Digital Image Processing 對于一個確定性信號 ，在整個區(qū)間是連續(xù)或分段連續(xù)，只要滿足平方可積條件，即 小波變換及在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用 ?從傅立葉分析到小波變換 ▓ 經(jīng)典傅立葉變換 )2,0(),( ??xxf??? dxxf 220 )(?就稱 f(x)在空間 上可測，且 可以表示為一標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)族 的加權(quán)和； )2,0(2 ?L )2,0()( 2 ?Lxf ?? ?Rxje ?????? ? deFxf xj? ???? )(2 1)( 或 ????? xjeFxf ??? )(2 1)(Digital Image Processing 就稱為原函數(shù) f(x)的傅立葉正變換，記作 傅立葉反變換，記作 同樣，對于隨機信號，其自相關(guān)函數(shù) 與功率譜 也構(gòu)成一傅立葉變換對： 小波變換及在圖像壓縮編碼中的應(yīng)用 其中權(quán)函數(shù) ( ) ( ) jxF f x e dx?? ? ???? ?? ?)()( xfFF ??)(xRf )(?fS( ) ( )1( ) ( )2jxffjxffS R x e d xR x S e d?????????????? ???? ????? ?)()( 1 ?FFxf ??Digital Image Processing 傅立葉變換不能表述信號的時變特性，為此， Gabor于 1946年提出了加窗傅立葉變換的概念。 （ 5）通過小波變換可以充分利用變換系數(shù)之間的空間相關(guān)性對系數(shù)建模，進一步提高壓縮比。 （ 4）小波變換能根據(jù)圖像特點自適應(yīng)地選擇小波基，從而既能保證解壓后圖像的質(zhì)量，又能提高壓縮比。 （ 2）小波變換能兼顧不同應(yīng)用中對時、頻不同分辨率的要 求，具有 “ 數(shù)學(xué)顯微鏡 ” 的美稱，但傳統(tǒng)變換（ DFT和 DCT 等）雖然在頻域具有最高分辨率，但在時域無分辨率而言。 編碼算法的步驟為： （ 1） 分割一幅位圖為 4個象限 ， (從左到右，從上到下 )； （ 2） 對于 且 ，依次輸出其四個葉子的像素比特值； 否則：如果 ，輸出比特 1； 繼續(xù)四叉樹分割 ，回到（ 1） (遞歸編碼過程 )； 否則，輸出比特 0； 如果 ，輸出比特 0； 否則，輸出比特 1； 二值圖像編碼 iS iiMN? iT14~SS2iM ? 2iN ?0 i i iT M N??iS0iT ?Digital Image Processing 小波變換壓縮編碼的基本思想是利用小波變換將原圖像轉(zhuǎn)換為小波域上的系數(shù)，由于小波變換的能量集中作用，會使原圖像的絕大部分能量集中在少量小波系數(shù)上，通過量化處理，忽略一些能量很小的系數(shù)，只保留那些能量較大的系數(shù)進行編碼，就可達到圖像壓縮的目的。在圖 ，右邊的 0,1表示輸出的比特值，共計輸出 28bits，實際的輸出順序為 : 1010000001110011110001000100。如果對應(yīng)區(qū)域為相同像素值，則它成為根的葉子節(jié)點，否則成為根的一個子節(jié)點。從建立孤立節(jié)點開始，它是四叉樹的根。 RLC中每個像素的平均碼長滿足下式 二值圖像編碼 BBWWWBWBWB LPLPHLH ???? （ bit/像素） 其中 為 RLC像素的平均碼長； 為每個像素的熵值； ， WBLWBH WP BP為白、黑像素出現(xiàn)的概率； ， 分別為白、黑像素所需的碼長。 Digital Image Processing 例如，對于一個二元序列 0000001111100011001 對應(yīng)的游程序列為 653221，由于設(shè)定為從 “ 0”開始，故可以容易的恢復(fù)出原始的二元序列。若規(guī)定是 “ 0”游程開始，那么接著就是 “ 1”游程，然后是 “ 0”游程，以此類推。這些符號連續(xù)出現(xiàn)，形成了 “ 0”游程和 “ 1”游程。變長游程編碼則是指不同范圍的游程使用不同位數(shù)來進行編碼。 Digital Image Processing 游程編碼分為定長游程編碼和變長游程編碼兩類。并且將 “ 1”作為編碼的前綴，編碼的其余部分利用 “ 0”（或 “ 1”）來表示子塊各個像素為 “ 黑 ” （或“ 白 ” ）。然后將其分為全白塊、全黑塊和混合塊，將出現(xiàn)頻率最高的塊分配一個比特碼字 “ 0”，其余兩類子塊分配兩個比特碼字 “ 10”和 “ 11”。 二值圖像編碼 ?常數(shù)塊編碼與空白塊編碼 常數(shù)塊編碼就是采用專門的碼字來表達全 0或者全 1的連通區(qū)域，該編碼方法常用于二值圖像壓縮和位平面壓縮。 ( , )( , ) 。 限失真編碼 ???2 ?3 ?k 255??k255)1( ???k▓ 另一種方法是選擇系數(shù)門限 T，輸入數(shù)據(jù)可以做如下變換 ? ?( , ) 。選擇一個間隔參數(shù) ,并且計算均勻量化的值 0， , , ,… ,255 。均勻量化方法有兩種。 14(~212 )d 限失真編碼 Digital Image Processing 1 1 1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 0 01 1 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 08 7 6 4 3 2 1 07 6 5 4 3 2 0 06 5 4 3 2 0 0 04 4 3 3 0 0 0 03 3 2 0 0 0 0 02 2 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 0 01 1 1 1 1 0 0 01 1 0 1 0 0 0 01 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 1 5 6 1 4 1 5 2 7 2 82 4 7 1 3 1 6 2 6 2 9 4 23 8 1 2 1 7 2 5 3 0 4 1 4 39 1 1 1 8 2 4 3 1 4 0 4 4 5 31 0 1 9 2 3 3 2 3 9 4 5 5 2 5 42 0 2 2 3 3 3 8 4 6 5 1 5 5 6 02 1 3 4 3 7 4 7 5 0 5 6 5 9 6 13 5 3 6 4 8 4 9 5 7 5 8 6 2 6 3(a) (b) (c) (d) 圖 量化和編碼的示意圖 (a) 區(qū)域選擇濾波器； （ b）區(qū)域量化和碼字分配； (c）閾值選擇濾波器； （ d） Z形掃描編碼順序。量化后的數(shù)值就可分配碼字，分配的原則是：方差大的系數(shù)分配長碼字，方差小的系數(shù)分配短碼字。 ② 選擇系數(shù)的量化和編碼 將帶小數(shù)的系數(shù)變成整數(shù)，并使大數(shù)值變換成小數(shù)值。其缺點是需要對選擇系數(shù)的位置進行編碼，編碼占用比特數(shù)較多，這樣就會大大降低有效壓縮比。 ( , )( , )0。 222Nd▓ 閾值法 閾值法就是采用最大幅值原則，根據(jù)實際情況設(shè)定適當(dāng)幅度的閾值，若變換系數(shù)超過該閾值，則保留系數(shù)進行編碼，否則補零。這樣每個子圖像編碼時要增加 2比特，而整個圖像編碼值要增加 比特。區(qū)域大小的選定應(yīng)根據(jù)子圖像變換后頻域能量的集中程度，能量越集中，區(qū)域應(yīng)越小，反之能量越分散，區(qū)域應(yīng)越大。 限失真編碼 Digital Image Processing 區(qū)域選擇越大，圖像失真就越小，但壓縮比會降低。選擇濾波器為 1 。 ▓ 區(qū)域法 區(qū)域法是選取特定區(qū)域中的變換系數(shù)進行量化編碼，區(qū)域外的系數(shù)被舍棄。 限失真編碼 Digital Image Processing 這一步的計算公式為： 1100( , ) ( , ) ( , , , )NNiimnF u v f m n g m n u v????? ??（ 3） 量化和編碼： 正交變換后對其系數(shù)的量化和編碼一般結(jié)合起來分成兩步進行，第一步是系數(shù)選擇，第二步是選擇系數(shù)的量化和編碼。 若采用均方差最小準(zhǔn)則， KL變換是具有最佳能量集中能力的變換，但 KL變換的變換矩陣依賴于具體圖像，而不能得到固定的變換矩陣，特征值和特征向量的計算具有很高復(fù)雜度， KL變換沒有快速算法。經(jīng)正交變換后，并沒有丟失圖像所包含的信息，總的能量保持不變，但是能量重新分配。圖像分塊大小的選擇應(yīng)該使得相鄰子圖像之間的相關(guān)性保持到某個可接受的程度，并且將分塊的長和寬設(shè)定為 2 的整次冪。 限失真編碼 Digital Image Processing 2．方法步驟 （ 1） 子圖像劃分 在圖像正交變換編碼中，通常先將 N N的原始圖像 f(m,n)分割成 d d的圖像子塊（可稱為子圖像），再對每個子圖像進行正交變換。nmf( a )( b )),( nmf),(39。 Digital Image Processing ? 正交變換編碼 1．正交變換編碼的基本原理 子 圖 像 劃 分 正 交 變 換 量 化 編 碼 器原 始 圖 像 壓 縮 碼 流解 碼 器壓 縮 碼 流反 變 換 子 圖 像 合 并解 壓 圖 像),( nmfi ),( vuF i ),(? vuFi),(39。圖 d是一階自適應(yīng)預(yù)測的結(jié)果，比 a質(zhì)量好但比 b差。由圖中可以看出，視覺感受的誤差隨預(yù)測器階數(shù)的增加而減少。 nf inf ?圖 因果形式圖像預(yù)測的示意圖 限失真編碼 Digital Image Processing 這里預(yù)測 所用像素個數(shù)稱為預(yù)測器的階。并有限制條件： 最