開集與閉集ppt課件(參考版)
2025-05-02 01:25本頁面
【正文】 ?????? }){(,0 ),( xPO x ?? 有 證明：對任意 x ∈ P ， 只要證： 第 n次等分留下的區(qū)間 ( ) xδ x x+δ nniI 31|| )( ?()1 ( , )3, nnxin i O I??? ? ?及 某 個 ， 使)(niI 由 Cantor集的作法知 而 的兩個端點定在 P中， 5. Cantor 集合的基數(shù)是連續(xù)基數(shù)，即 Cantor 集合中點的“個數(shù)”是和 [0,1]區(qū)間中點的“個數(shù)”一樣多 . 6. Cantor 集合中不是只有那些分點的，因為全部分點顯然構(gòu)成一可數(shù)集合 . ..1 集是一則稱是可數(shù)多個開集的交，如果點集 ?GEE..2 集是一則稱是可數(shù)多個閉集的并，如果點集 ?FEE.)()(集中的稱為中的元素域集類，而中的稱為域的的子集所產(chǎn)生的，中全體開集，則由表示如果用B o r e lRgFB o r e lRgFRgRnnnn??幾個概念 。 ?????? 32,31 ???????????? 1,32,31,0???????????? 98,97,92,91Cantor集 對 [0,1]區(qū)間三等分，去掉中間一個開區(qū)間， 然后對留下的兩個閉區(qū)間三等分，各自去掉中間一個開區(qū)間， 此過程一直進行下去，最后留下的點即為 Cantor集 Cantor 集合 E是一完備集合 1) E是一閉集 . 設(shè) A是所有被刪去的點作成的集合，則 A是可數(shù)多個開集的和，所以 A是開集 . .,]1,0[]1,0[ 是閉集故而 EAAE c????2) E是一自密集 . .312nnnC a n t o r個閉區(qū)間的長度是的次刪去以后，所余下來集的構(gòu)成，在進根據(jù).31,0},m i n {),(,00?????????????nnxxxEx充分大時有故當(dāng)則的任意一開區(qū)間，令是包含設(shè).),(),(, 000ExExIInxEx inin????，這說明的點屬于中至少有一異于所以則次后所余的某一閉區(qū)間也應(yīng)屬于刪去故又????Cantor 集合 E是一疏朗集合 .),(),( 的點，則顯然成立不含若任取開區(qū)間 E????.31,0},m i n {),(00????????????nnxxxE充分大時，便有故當(dāng)則，令的點中有若.),(),(),(),(],[),(],[],[,0000000是疏朗集所以，且，則中間的開區(qū)間，設(shè)為三等分時，所挖去的再將則設(shè)該閉區(qū)間為中，次后所余的某一閉區(qū)間也應(yīng)屬于刪去故是永遠(yuǎn)刪不去的點既然EEnxx???????????????????????????Cantor 集合 E是直線上的一個無處稠密的完備集 Cantor集的性質(zhì) inin IG )(,??1 .分割點一定在 Cantor集中 Cantor集 P=[0,1] G=[0,1]∩Gc為閉集 注：第 n次共去掉 2n1個長為 1/3n的開區(qū)間 112313
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