【正文】 ∠A，∠B，∠C的對邊也分別為，則=_________，=_________，=_________． 3．勾股定理的逆定理：在△ABC中，若三邊滿足___________，則△ABC為___________． 4．勾股數(shù)：滿足___________的三個(gè)___________，稱為勾股數(shù)．5．幾何體上的最短路程是將立體圖形的________展開，轉(zhuǎn)化為_________上的路程問題，再利用___________兩點(diǎn)之間，___________解決最短線路問題．6．直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系？（教師引導(dǎo)，小組討論、總結(jié)）從邊的關(guān)系來說，當(dāng)然就是勾股定理；從角度的關(guān)系來說，由于直角三角形中有一個(gè)特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個(gè)銳角互余．直角三角形作為一個(gè)特殊的三角形．如果又有一個(gè)銳角是，那么的角所對的直角邊時(shí)斜邊的一半．7．舉例說明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形．判斷一個(gè)三角形是直角三角形可以從角、邊兩個(gè)方面去判斷．（1）從定義即從角出發(fā)去判斷一個(gè)三角形是直角三角形．例如：①在△ABC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)定義可判斷△ABC是直角三角形．②在△ABC中，由三角形的內(nèi)角和定理可知，△ABC是直角三角形．（2）從邊出發(fā)來判斷一個(gè)三角形是直角三角形．其實(shí)從邊來判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定直角三角形的條件（即勾股定理的逆定理）． 例如：①△ABC的三條邊分別為，而，根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，但這里要注意的是b所對的角．②在△ABC三條邊的比為，△ABC是直角三角形．8．通過回顧與思考中的問題的交流，由同學(xué)們自己建立本章的知識結(jié)構(gòu)圖． （小組內(nèi)展示自己總結(jié)的知識框圖，相互交流完善知識框圖；每個(gè)小組選取一名代表，展示本組的知識框圖．）三邊的關(guān)系勾股定理→歷史、應(yīng)用直角三角形 直角三角形的判別→應(yīng)用目的：復(fù)習(xí)與直角三有形有關(guān)的知識，加強(qiáng)知識的前后聯(lián)系，把勾股定理及判定納入直角三角形的知識體系中，把以前的零散的知識形成知識體系．通過學(xué)生相互交流，整理知識框圖復(fù)習(xí)本章知識點(diǎn)，自覺內(nèi)化到自身的知識體系中．效果：學(xué)生有獨(dú)立思考的空間，與有合作交流的舞臺，動靜結(jié)合，相得益彰．第三環(huán)節(jié)：合作探究內(nèi)容：探究一：利用勾股定理求邊長已知直角三角形的兩邊長分別為4，求第三邊長的平方．解：（1）當(dāng)兩直角邊為3和4時(shí)，第三邊長的平方為25；（2）當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時(shí)，第三邊長的平方為7．注意事項(xiàng)：因?qū)W生習(xí)慣了“勾三股四弦五”的說法，即意味著兩直角邊為3和4時(shí)，斜邊長為5．但這一理解的前提是4為直角邊．而本題中并未加以任何說明，因而所求的第三邊可能為斜邊，但也可能為直角邊．探究二：利用勾股定理求圖形面積：1．求出下列各圖中陰影部分的面積．_(3)21圖（1）陰影部分的面積為＿＿＿＿；（答案：1）圖（2）陰影部分的面積為＿＿＿＿；（答案：81）圖（3）陰影部分的面積為＿＿＿＿；（答案：5）2． 已知Rt△ABC中，若，求Rt△ABC的面積．探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形狀或求角度1. 在△ABC中，的對邊分別為，且，則（ ）.（A）為直角 （B）為直角 （C）為直角 （D）不是直角三角形解：，∴．故選（A）.注意事項(xiàng)：因?yàn)槌Ｒ姷闹苯侨切伪硎緯r(shí)，一般將直角標(biāo)注為，因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為就一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，即，因根據(jù)這一公式進(jìn)行判斷．2．已知△ABC的三邊為a，b，c，有下列各組條件，判定△ABC的形狀．（1）；（2）．解：（1）（2）均為直角三角形．探究四：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用：B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東方向以每小時(shí)8 n mile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15 n mile的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34 n mile，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？解：甲船航行的距離為BM=（n mile），乙船航行的距離為BP=（n mile）．∵，∴，∴△MBP為直角三角形，∴，∴乙船是沿著南偏東方向航行的．注意事項(xiàng)：勾股定理的使用前提是直角三角形，而本題需對三角形做出判斷，判斷的依據(jù)是勾定理的逆定理，其形式為“若，則．學(xué)生容易不先對三角形做出判斷而直接應(yīng)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．目的：通過對四大問題的探究，培養(yǎng)同學(xué)們歸納知識的能力，并將各種數(shù)學(xué)基本思想方法滲透其中，如對數(shù)形結(jié)合思想的滲透，鼓勵(lì)學(xué)生由代數(shù)表示聯(lián)想到幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)代數(shù)表示，從而認(rèn)識數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系．如對分類討論的滲透，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度．效果：探究四綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題，這種貼近生活的實(shí)例，訓(xùn)練學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，通過學(xué)生的解答和討論，讓學(xué)生自我解決疑難，既是對所學(xué)知識的鞏固應(yīng)用，又讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅．第四環(huán)節(jié)：拓展提升內(nèi)容：我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由“弦圖”變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是 ．（答案為）目的：學(xué)生可以進(jìn)一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應(yīng)用，了解我國古代人民的聰明才智，在我們的數(shù)學(xué)史上，好多結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一個(gè)過程，都是從幾個(gè)或大量的特例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想出結(jié)論，然后以前面的理論作為基礎(chǔ)，證明猜想，一個(gè)偉大的成果就誕生了，掌握這種研究數(shù)學(xué)的方法，大膽創(chuàng)新，刻苦鉆研，說不一定你就是未來的商高，第二個(gè)趙爽．效果：運(yùn)用勾股定理和方程思想解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體會生活中處處皆數(shù)學(xué)，并且使新知得到了鞏固，能力得到了訓(xùn)練，認(rèn)識得到了升華．第五環(huán)節(jié)：交流小結(jié)內(nèi)容：師生相互交流總結(jié)：？2．你在學(xué)習(xí)過程中是否積極參與？是否與同伴進(jìn)行了有效的合作交流？目的：鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史．效果：學(xué)生暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，總結(jié)解決問題的思路與方法，并贊嘆我國古代數(shù)學(xué)的成就．第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)1．課本《復(fù)習(xí)題》．2．思考題：一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示．正方形DEFH的邊長為2 m，坡角m．當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動到什么位置，即當(dāng)AE＝ m時(shí)，有．（答案為：．）四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思本節(jié)課是復(fù)習(xí)課，利用勾股定理和勾股逆定理來解決實(shí)際問題．勾股定理是在學(xué)生已經(jīng)掌握了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它揭示了一個(gè)三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，而勾股定理逆用的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形．針對我班學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是引導(dǎo)學(xué)生“‘做’數(shù)學(xué)”，先由淺入深，在學(xué)生的自主探究與合作交流中解決問題，這樣既遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又充分體現(xiàn)了“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人、教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”，歸納知識綜合練習(xí)，應(yīng)用知識—課堂小結(jié)三部分，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識與能力，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心．讓學(xué)生自己繪制知識網(wǎng)絡(luò)圖，進(jìn)一步體會本章所學(xué)知識之間的前后聯(lián)系，并培養(yǎng)了學(xué)生這方面的能力．設(shè)計(jì)的題目既考察了對基本知識的掌握情況，又注重了綜合課的特點(diǎn)，注重對所學(xué)知識的綜合利用．設(shè)計(jì)的問題盡量與實(shí)際問題有聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于實(shí)際，又應(yīng)用于生活實(shí)際，這一點(diǎn)符合新課標(biāo)的要求．附：板書設(shè)計(jì)回顧與思考一 情境引入二 本章知識結(jié)構(gòu)三邊的關(guān)系勾股定理→歷史、應(yīng)用直角三角形 直角三角形的判別→應(yīng)用三 合作探究探究一：利用勾股定理求邊長探究二：利用勾股定理求圖形面積探究三：利用勾股定理及逆定理判定△ABC的形狀或求角度探究四：勾股定理及逆定理的綜合應(yīng)用四 拓展與提升五 交流小結(jié)六 布置作業(yè)第35頁 。由于本班學(xué)生整體水平較高，因而本設(shè)計(jì)教學(xué)容量相對較大，教學(xué)中，應(yīng)注意根據(jù)自己班級學(xué)生的狀況進(jìn)行適當(dāng)?shù)膭h減或調(diào)整。4．注重對學(xué)習(xí)新知理解應(yīng)用偏困難的學(xué)生的進(jìn)一步關(guān)注。2．注重引導(dǎo)學(xué)生積極參與實(shí)驗(yàn)活動，從中體驗(yàn)任何一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的過程，同時(shí)遵循由“特殊→一般→特殊”的發(fā)展規(guī)律。第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)課本習(xí)題1．3第1，2，4題。意圖：鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史；敢于面對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，并有獨(dú)立克服困難和運(yùn)用知識解決問題的成功經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)的信心和能力，初步形成積極參與數(shù)學(xué)活動的意識。注意防漏解及網(wǎng)格的應(yīng)用。解答：4個(gè)直角三角形，它們分別是△ABE、△DEF、△BCF、△BEF2．如圖5，哪些是直角三角形，哪些不是，說說你的理由？FDABCE①②③⑥⑤④ 圖4 圖5解答：④⑤是直角三角形，①②③⑥不是直角三角形意圖： 第一題考查學(xué)生充分利用所學(xué)知識解決問題時(shí)，考慮問題要全面，不要漏解；第二題在于考查學(xué)生如何利用網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算，從而解決問題。效果： 學(xué)生能用自己的語言表達(dá)清楚解決問題的過程即可；利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角