高中數(shù)學(xué)必修2第三章直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)(參考版)
2025-04-07 05:09本頁(yè)面
【正文】 ＋7＝0.由得根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x－2y＋33＝0.法二：設(shè)直線x－2y＋5＝0上任意一點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x，y)，則＝－，又PP′的中點(diǎn)Q在l上，即3－2＋7＝0，由可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為x0＝，y0＝，代入方程x－2y＋5＝0中，化簡(jiǎn)得29x－2y＋33＝0，故所求反射光線所在的直線方程為29x－2y＋33＝0.。＝－1.則a＋3b－12＝0.①又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且在直線l上，則3－－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．于是AB′的方程為＝，即2x＋y－9＝0.解得即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,5)．1．點(diǎn)(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直線xsin θ＋ycos θ－1＝0的距離是，那么θ等于( )A. C. 解析：選B 由已知得＝，即|sin θ－sin2θ|＝，∴4sin2θ－4sin θ－1＝0或4sin2θ－4sin θ＋1＝0，∴sin θ＝或sin θ＝.∵0≤θ≤π，∴0≤sin θ≤1，∴sin θ＝，即θ＝或.2．已知直線l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝，則l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0解析：選B l1與l2關(guān)于l對(duì)稱，則l1上任一點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在l2上，故l與l1的交點(diǎn)(1,0)在l2上．又易知(0，－2)為l1上一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)(x，y)，則得即(1,0)，(－1，－1)為l2上兩點(diǎn)，可得l2方程為x－2y－1＝0.3．光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入，遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光線所在的直線方程．解：法一：由得即反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1,2)．又取直線x－2y＋5＝0上一點(diǎn)P(－5,0)，設(shè)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.而PP′的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，Q點(diǎn)在l上，即3福建模擬)若點(diǎn)(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，則m2＋n2的最小值是( )A．2 B．2C．4 D．2解析：選C 設(shè)原點(diǎn)到點(diǎn)(m，n)的距離為d，所以d2＝m2＋n2，又因?yàn)?m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，所以原點(diǎn)到直線4x＋3y－10＝0的距離為d的最小值，此時(shí)d＝＝2，所以m2＋n2的最小值為4.3．在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距離之差最大．解：如圖所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B′，連接AB′并延長(zhǎng)交l于P，此時(shí)的P滿足|PA|－|PB|的值最大．設(shè)B′的坐標(biāo)為(a，b)，則kBB′荊州二檢)過點(diǎn)P(1,2)的直線l被兩平行線l1：4x＋3y＋1＝0與l2：4x＋3y＋6＝0截得的線段長(zhǎng)|AB|＝，求直線l的方程．解：設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－1)，由解得A；由解得B.∵|AB|＝，∴ ＝，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－.因此，所求直線l的方程為x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.12．已知直線l：3x－y＋3＝0，求：(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程．解：設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)．∵kPP′臨沂模擬)已知點(diǎn)P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是________．解析：由題意得，點(diǎn)到直線的距離為＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013岳陽(yáng)模擬)直線l經(jīng)過兩直線7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交點(diǎn)，且過點(diǎn)(5,1)．則l的方程是( )A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0解析：選C 設(shè)l的方程為7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，則(7＋λ)5＋5－λ－24＝＝－＋3y－8＝0.7．(2012海淀區(qū)期末)已知直線l1：k1x＋y＋1＝0與直線l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l(fā)1∥l2”的( )A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k11－k21＝0，所以k1＝“k1＝k2”是“l(fā)1∥l2”的充要條件．2．當(dāng)0＜k＜時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B 解方程組得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?＜k＜，所以＜0，＞0，故交點(diǎn)在第二象限．3．(2012＝6，所以b2＝144，所以b＝177。南京調(diào)研)與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為( )A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：選A 與直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0. [典例] (2012通化模擬)若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則c的值是________．解析：由題意得＝≠，得a＝－4，c≠－2，則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0，則＝，解得c＝2或－6.答案：2或－6對(duì) 稱 問 題典題導(dǎo)入[例3] (2012＝－1，所以兩條直線垂直．兩直線的交點(diǎn)與距離問題典題導(dǎo)入[例2] (2012大同模擬)設(shè)a，b，c分別是△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊，則直線xsin A＋ay＋c＝0與bx－ysin B＋sin C＝0的位置關(guān)系是( )A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直解析：選C 由已知得a≠0，sin B≠0，所以兩直線的斜率分別為k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1k2＝－，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意．2．(1)若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則直線l1⊥l2的充要條件是k1l2經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m為( )A．6 B．－6C．5 D．－5解析：選B 由已知得k1＝1，k2＝.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1＝－1，即m＝－6.2．(教材習(xí)題改編)點(diǎn)(0，－1)到直線x＋2y＝3的距離為( )A
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