微積分在物理學(xué)上應(yīng)用(參考版)
2025-04-07 02:24本頁面
【正文】 解：在盤上取一半徑為r，寬為dr的環(huán)帶，此環(huán)帶電荷在點(diǎn)電荷處產(chǎn)生的電勢 dVP=σ2πrdr4πε0(x2+R2)12則盤上所有電荷在點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢 VP=dVP=0Rσ2πrdr4πε0(x2+R2)12=σ2ε0（x2+R2x）因此，得二者之間的相互作用能為 U=q0VP=q0σ2ε0(x2+R2x)。P點(diǎn)的電勢為VP=P∞E?dl=q4πε0r由疊加原理，點(diǎn)電荷系在空間P點(diǎn)處的電勢VP=14πε0q1r1由定積分的定義，連續(xù)帶電體在空間P點(diǎn)處的電勢VP=P∞E?dl例1：在一半徑為R的非導(dǎo)體細(xì)圓環(huán)上，電荷的線密度λ=λ0cosφ，式中λ0為正的常數(shù)，如圖所示，φ為方位角，求環(huán)心處的場強(qiáng)和電勢。 微積分在靜電場方面的應(yīng)用設(shè)真空中的電荷為q，P點(diǎn)位于空間一點(diǎn)，r為從q到P點(diǎn)的矢徑。解：如圖所示（2）所示取管內(nèi)鏈條上的一小質(zhì)元dm=ρrdβ,其重力對點(diǎn)O力矩為 dM1=ρrdβgcosβr 則管內(nèi)部分鏈條的重力對O力矩為 M1=dM1=0πθ[ρrdβgcosβ]r=r2ρgsinθ (2)而管外鏈條下垂部分重力對O力矩為 M2=θrρgr=θr2ρg則瞬時(shí)和力矩為 M=M1+ M2根據(jù)角動量定理得到 M=dLdt 所以 Mdθ=Iωdω 即 M1+M2dθ=Iωdω對其進(jìn)行積分，得到 M1+M2dθ=Iωdω 0θ0[(r2ρgsinθ)+θr2ρg]dθ=0ω(πrρ)r2ωdω解得 v=rgπ(θ022cosθ0+2當(dāng)我們遇到這樣的題目，要善于在題目中間找到等價(jià)關(guān)系，靈活的運(yùn)用微積分和定理之間的關(guān)系更有利于我們?nèi)ソ鉀Q問題。例2：如圖所示，一半徑為r的空心管放在豎直的平面內(nèi)，管內(nèi)有一鏈條，它的線密度為ρ。解：球落到箱子底部時(shí)的速度為 v0=2gh設(shè)當(dāng)橡皮泥與箱子一起運(yùn)動時(shí)的速度為v,則 mv0=(M+m)v所以 v=mM+mv0根據(jù)動量定理知 （Mg+mgkx）dt=d[(m+M)v]得出 (Mg+mgkx)dx=(M+m)vdv上式積分后得 x0x0+x1(Mg+mgkx)dx=v0M+mvdv化簡整理后 12（M+m）v2+12kx02=(M+m)gx1+k(x1+x0)2整理之后得出 x=例3：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在力的作用下做平面曲線運(yùn)動，其運(yùn)動方程為r=Acosωti+Bsinωtj，式中,A,B,ω都是正的恒量，則力在t1=0到t2=∏2ω這段時(shí)間內(nèi)做的功是多少？解：在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動能的增量為 ΔEk=12mv2212mv12 =12m(vx22+vy22)t2=π2ω12m(vx12+vy12)t1=0
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