【正文】 （ 4）與三角函數(shù)的關(guān)系： 135 例題 1 解方程 s in 1 .z is h?解： ? ?s i n s i n s i n c o s c o s s i nz x i y x i y x i y? ? ? ?s i n c o s 1x c h y i x s h y i s h? ? ?? ?? ?si n 0 1c os 1 2x c hyx sh y sh???? ????? ? : 0 s i n 0 ,c h y x x k k Z?? ? ? ? ? ?由 1 因? ? ? ?2 1 1ks h y s h? ? ?代入 11ykyk???? ???為偶數(shù)為奇數(shù)? ?2.21niz n Zni????? ? ?????136 對(duì)數(shù)函數(shù) 定義： : ( 0) ,ww e z z??若 滿足 L n ( 0 ) .w z z??則,w u i v??記： iz r e ??? u i v u i v ie e e r e ?? ??l n l na r g 2ue r u r zv A rg z z k??? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ?l n a r g 2w L n z z i z k ?? ? ? ? ?l n a r g 2 l n 2z i z i k z k i??? ? ? ? ? 多值性 l n l n a r gz z i z??主值支 例如： 137 性質(zhì)： ? ?( 1 ) L n : 0 ,z z z? ? ? ?的定義域?yàn)?2) Ln z為無(wú)窮多值函數(shù)，每?jī)蓚€(gè)值相差 2π i的整數(shù)倍 ， 1 2 1 2 1 2( 3 ) , 0 L n ( ) L n L n ,z z z z z z? ? ? ?：1122L n ( ) L n L n .z zzz??(4) 除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸 , ln z在復(fù)平面內(nèi)處處解析： ? ? ? ?11l n , .z Ln zzz ??。 131 167。 129 已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用 CR 方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。 2 ) R e ( )w z w z z??? ? ? ?2 2 2 2yyv i u x i y x i y z? ? ? ? ? ? ? ?126 解： 1 ) ,w z x i y? ? ?由 得 u?x, v??y, 所以 1 , 0 , 0 , 1x y x y x y y xu u v v u v u v? ? ? ? ? ? ? ? ?在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo) , 處處不解析； wz?故2) 由 w = z Re(z) = x2 + ixy, 得 u = x2, v = xy, 所以 2 , 0 , ,x y x yu x u v y v x? ? ? ?當(dāng)且僅當(dāng) x = y = 0時(shí) , ,x y y xu v u v? ? ?因而函數(shù)僅在 z = 0可導(dǎo) , 但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析 . 127 167。 ? ? ? ? 1 3 2 4( ) ( )x x y yu i v x u i v y i x i y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?124 1 3 2 4( ) ( ) ( ) ( ) .xxf z z f z x yu iv i iz z z? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?( 1 , 1 )xyzz??????0( ) ( )( ) l im .zf z z f z u vf z iz x x?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?即函數(shù) f (z)在點(diǎn) z = x + iy 處可導(dǎo) . 由 z 的任意性可知： ( ) ( , ) ( , )w f z u x y i v x y? ? ? 在D 內(nèi)解析.定理 1 函數(shù) f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定義域 D內(nèi)解析的充要條件是 u(x,y) 與 v(x,y) 在 D內(nèi)可微 , 并滿足 CauchyRiemann方程 . 定理 2 函數(shù) f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域 D內(nèi)一點(diǎn) z =x+iy 可導(dǎo)的充分必要條件是 : u(x,y)與 v(x,y)在點(diǎn) (x,y)可微 , 在該點(diǎn)滿足 CauchyRiemann方程 。 問(wèn)題 ：對(duì)函數(shù) f (z) = u(x,y) + iv(x,y)， 如何判別其解析（可導(dǎo)）性？ 121 換句話說(shuō)： ? ?( ) ,f z u v的解析 可導(dǎo) 與 的偏導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系？? ?? 設(shè)函數(shù) ( ) ( , ) ( , )w f z u x y iv x y? ? ? 在D 內(nèi)解析，( ) .f z a i b? ??即存在 于是 ? ? ? ?w f z z f z? ? ? ? ?? ? ( 0 , 0 )a i b z z z??? ? ? ? ? ? ? ?當(dāng)12( ) ( )a i b z i z??? ? ? ? ? ?))(())(( 21 yixiyixiba ?????????? ??? ? ? ?? ?yxybxa ???????? 21 ??? ? ? ?21i b x a y x y??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?,u x y i v x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1221xyxyu u x u y o a x b y x yv v x v y o b x a y x y? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???122 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xyxyu u x u y o a x b y ov v x v y o b x a y o??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ???,.xyxyu v av u b???? ?? ? ??,u v v ux y x y? ? ? ?? ? ?? ? ? ?稱 C a u c h y R i e m a n n為 方程? ?( ) ( , ) ( , )w f z u x y i v x y D? ? ? ?即 在 內(nèi)一點(diǎn) x , y 解析u(x,y) 與 v(x,y) 在該點(diǎn)可微 , 并且滿足 柯西 黎曼 (CauchyRiemann)方程。 內(nèi)解析：在區(qū)域 Dzf )( ()f z D在 內(nèi)處處解析.120 例 4 討論函數(shù) f (z)=1/z 的解析性 . 解： ? ?21 0,dw zd z z? ? ?故 f (z)=1/z 除 z = 0外處處解析； z = 0 是它的一個(gè)奇點(diǎn)。 在區(qū)域內(nèi)： ?解析 可導(dǎo).例如 f (z) = z2 在整個(gè)復(fù)平面上解析； 2)( zzfw ??僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析； f (z) = x +2yi 在整個(gè)復(fù)平面上不解析。 119 2. 解析函數(shù)的概念 函數(shù)在一點(diǎn)解析 ? 在該點(diǎn)可導(dǎo)。） 117 例 2 問(wèn) f (z) = x +2yi 是否可導(dǎo) ? [解 ] 這里 0( ) ( )l imzf z z f zz??? ? ??0( ) 2( ) 2l i mzx x y y i x y ix y i??? ? ? ? ? ? ??? ? ?02l i mzx yix yi??? ? ??? ? ?0,zx? ? ? ?取002l im l im 1 .zzx y i xx y i x? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?0,z i y? ? ? ?取0022l im l im 2 .zzx y i yx y i y? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?所以 f (z) = x + 2yi 的導(dǎo)數(shù)不存在 . （即 f (z) = x + 2yi 在整個(gè)復(fù)平面處處不可導(dǎo) .） 118 例 3 討論 2)( zzfw ??的可導(dǎo)性。(z) = 2z . 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有與實(shí)函數(shù)同樣的求導(dǎo)法則 。 ?如果 f (z) 在區(qū)域 D內(nèi)處處可導(dǎo) , 就說(shuō) f (z) 在 Ｄ 內(nèi)可導(dǎo) . 例 1 求 f (z) = z2 的導(dǎo)數(shù)。),( Dzzfw ??函數(shù)1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義： Dzzz ???00 ,????? zwz 0lim極限 z zfzzfz ??????)()(lim 000存在 , 則就說(shuō) f (z)在 z0可導(dǎo) , 此極限值就稱為 f (z)在 z0 的 導(dǎo)數(shù)，記作 00( ) .zzdwfzdz ?? 或應(yīng)該注意：上述定義中 的方式是任意的。 都是連續(xù)的對(duì)復(fù)平面內(nèi)的所有點(diǎn) z(2) 有理分式函數(shù) ,)( )( zQ zPw ? , )( )( 都是多項(xiàng)式和其中 zQzP在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的 . 111 例 3 . )( , )( : 00也連續(xù)在那末連續(xù)在如果證明 zzfzzf證 ),(),()( yxivyxuzf ??設(shè) ),(),()( yxivyxuzf ??則 , )( 0 連續(xù)在由 zzf,) ,( ),( ),( 00 處都連續(xù)在和知 yxyxvyxu ,) ,( ),( ),( 00 處連續(xù)也在和于是 yxyxvyxu ? . )( 0 連續(xù)在故 zzf112 三、小結(jié)與思考 通過(guò)本課的學(xué)習(xí) , 熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連 續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì) . 注意 :復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù) 極限的定義雖然在形式上相同 , 但在實(shí)質(zhì)上有很 大的差異 , 它較之后者的要求苛刻得多 . 113 思考題 ?)( , )( 00有無(wú)關(guān)系徑選取的路所采取的方式趨于此極限值與時(shí)的極限存在當(dāng)設(shè)復(fù)變函數(shù)zzzzzf ?114 思考題答案 沒有關(guān)系 . , 0zz 以任何方式趨于 極限值都是相同的 . 放映結(jié)束，按 Esc退出 . 115 第二章 解析函數(shù) 167。)]()([lim ( 2)。 (2) (3) (4)無(wú)界 . xyo74 二、單連通域與多連通域 1. 連續(xù)曲線 : . , )( ),( , )( , )( )( 稱為連續(xù)曲線表一條平面曲線代那末方程組是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù)和如果btatyytxxtytx????平面曲線的復(fù)數(shù)表示 : )().()()( btatiytxtzz ?????75 2. 光滑曲線 : .0,])([])([ , , )( )( , 22稱這曲線為光滑的那末有的每一個(gè)值且對(duì)于都是連續(xù)的和上如果在????????tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線 . xyo xyo76 3. 簡(jiǎn)單曲線 : . )( )( , )()( :的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別稱為與為一條連續(xù)曲線設(shè)CbzazbtatzzC ???. )( , )()( , , 121212121的重點(diǎn)稱為曲線點(diǎn)時(shí)而有當(dāng)與的對(duì)于滿足Ctztztzttttbtabta?????? 沒有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡(jiǎn)單曲線 (或若爾當(dāng)曲線 ). 77 . , )( )( , 為簡(jiǎn)單閉曲線那末稱即的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合如果簡(jiǎn)單曲線CbzazC?換句話說(shuō) , 簡(jiǎn)單曲線自身不相交 . 簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì) : 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集 . xyo內(nèi)部 外部 邊界 78 4. 單連通域與多連通域的定義 : 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 B, 如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線 , 而曲線的內(nèi)部總屬于 B, 就稱為單連通域 . 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域 , 就稱為多連通域 . 單連通域 多連通域 第五節(jié) 復(fù)變函數(shù) 一、復(fù)變函數(shù)的定義 二、映射的概念 三、典型例題 四、小結(jié)與思考 80 一、復(fù)變函數(shù)的定義 ).( ),( , , , , . zfwzw