【正文】 ? ? 2 1010x x m???解：線性諧振子的能量本征函數(shù)和能量本征值是 22 22211? , , 0 , 1 , 2 ,2 2 2ndH x E n ndx ? ? ????? ? ? ? ? ?????2 2 2?1 2 1 2, ( )22nE Hn x x V x? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?利用 HF定理計算 ： 取 ???2x?nE H??? ????由 HF定理 12 ()2n V x?????????221 1 1()2 2 2V x x n? ? ???? ? ?????得到 ? ? ? ? ? ? 2* 0n n nx x x x d x x x d x? ? ?? ? ???利用波函數(shù) 的宇稱性得到： ? ?n x? ? ? ? ? ? ?1nnnxx??? ? ?對于線性諧振子基態(tài)而言 2221124 2x x? ? ? ? ?? ? ?? ? 2 2 1 0 2 2 。 xxp? ??? ? ? ?? ?22 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?22? ? ? ?212x a a a a a a a aa a a a? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ?2 2 2 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 122? ? ? ?22 2 2 2122x a a a a a a a aa a an n n nn n n nnnannnn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???????????????其次，計算 ： 22?, xxp1?? nnna?11 ???? nnna?? ?a a n n n? ?? ?,1aa??????? ? ? ?? ?22 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?22? ? ? ?212xp a a a a a a a aa a a a? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?2 2 2 2 222? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 122? ? ? ?22 2 2 2122xn n n nnp a a a an n n n na a a aa a a a n nnn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????????? ? ? ? ? ?????? ? ????????222 12x x x x n????? ? ? ? ? ?????于是有 222 12x x x xp p p p n????? ? ? ? ? ?????1 1 12 2 2xx p n n n????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1?? nnna?11 ???? nnna?? ?a a n n n? ?? ?,1aa??????解法二 ：利用波函數(shù) 的宇稱性得到： ? ?n x? ? ? ? ? ? ?1nnnxx??? ? ?? ? ? ? ? ? 2* 0n n nx x x x d x x x d x? ? ?? ? ???** ?? ? ,0x n x n n np p d x x H d xi?? ? ? ???? ? ?????22 22211? ,2 2 2ndH x E ndx ? ? ????? ? ? ? ?????一維諧振子 Hamilton 量： 2 2 2?1 2 1 2, ( )22nE Hn x x V x? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?利用 HF定理計算 ： 取 ???22?,xxp?nE H??? ????由 HF定理 221 2 2 1()22n V x x??????? ? ?????2 12xn ??????????得到 0, 1, 2,n ?12nE n ?? ??????? ??取 ： ??22 2 2 2 2222 2 2? ?1 2 22 2 2 2xpH d d dxd x d x d x??? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ???nE H? ????由 HF定理 222 12x x x xp p p p n ????? ? ? ? ? ?????1 1 12 2 2xx p n n n????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 1?2xpn ??????????2?1222xpn ??????????得到 222 12x x x x n ????? ? ? ? ? ?????于是有 顯然式（ 1）和（ 2）是一致的。令 ? ?1 1 21 ,2x y y?? ? ?2 1 212x y y??即 ? ?1 1 21 ,2y x x?? ? ?2 1 212y x x??(6) (6’) 容易證明 2 2 2 21 2 1 2x x y y? ? ?? ?221 2 1 212x x y y??2 2 2 22 2 2 21 2 1 2x x y y? ? ? ????? ? ? ?(7) 因此， Hamilton 量可以表示成 ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2221212 2 2H m y y y ym y y??????? ? ? ? ? ? ???????2 2 2 2 2 2 21 1 2 22212112 2 2m y m ym y y ??????? ? ? ? ???????其中 221 ,m????? 222 ,m?????(8) (9) 式（ 8）正是兩個獨立諧振子（頻率 ， ）能量算符之和。 ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 1 2,n n n nx x x x? ? ??12, 0 , 1 , 2 ,nn ? ??????其中 為一維諧振子的能量本征函數(shù)。 則系統(tǒng)的本征函數(shù)為： )()( yxmn ??? ? 2x /2x( ) ,n n nx N H e ??? ?? ? ? 2y /2yy ( )m m mN H e ??? ??y,yyxx x????????系統(tǒng)的能量本征值為： 1122??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?n ,m x yE n mn, m=0, 1, 2, 3, … ? ?1 11E ???簡并度為 2 1 1 02 0 1( ) ( )( ) ( )xyxy? ? ?? ? ???系統(tǒng)的第一激發(fā)態(tài) 第二激發(fā)態(tài) 簡并度為 3 ? ?2 21E ???1 1 12 2 03 0 2( ) ( )( ) ( )( ) ( )xyxyxy? ? ?? ? ?? ? ????其中 (2) 當 時， ? ? ???xy N=0, 1, 2, 3, … ? ? N1?? ? ?n ,mE N E ??N n m其中 (3) 當 時，任意能級 ? ?N N1E ???簡并度為 111 ??? NCN n mN n m( ) ( )xy? ? ??? ? ???xy 其中 ??N n m例 11. 耦合諧振子的 Hamilton量為 ? ? ? ?2 2 2 2 21 2 1 2 1 21122H p p m x x x xm ??? ? ? ? ?其中 、 和 、 分屬于不同的自由度，設(shè) ，試求這耦合諧振子的能級。 1 1? ? 2 3? ? 2?? ? ? ?2 1 01 1 1 51 2 03333 0 0 3 3iii i i i i i i iii? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?222 1 0 2 1 0 2 1 01 1 1 111 2 0 1 2 0 1 2 03333 0 0 3 0 0 3 0 0 3 3iii i i i i i i i? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 1 2 5 2 23 9 3? ? ?? ? ? ? ? ?2) 例 10. 兩維諧振子的哈密頓量表示為： ? ?222 2 2 212 2 2yxxypp m x ymm? ? ?? ? ? ?1 , 0 , 1 , 2 ,2nE n n???? ? ?????? ? 2 /2()n n nN H e ?? ? ? ???????? ?? ,x其中： ? ? 22)1( ?? ?? ??? eddeH nnnn厄米多項式 (1) 求出系統(tǒng)的能級和能量本征態(tài)； (2) 當 時，給出第一，二激發(fā)態(tài)的簡并度； (3) 當 時，總結(jié)出任意能級 的簡并度。 , 0 ,? ? ? ?? ??解：將題給體系的哈密頓量分解為 ，其中 0H H H ???? ? ? ? ? ?0 0 01 2 3, 0 ,E E E??? ? ? ?由 的方程解得零級能量 0H是非簡并，其相應(yīng)的零級能量本征態(tài)為 （ 1） ? ? ? ? ? ?0 0 01 2 311 11 1 12 0 222 21 1 1? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?； ；? ? ? ?? ?? ?0011 1 110001 , 2 , 1 0 0 240 0 110 , , 2 2 041H H iiii???????????????? ? ? ? ?????? ???? ??????? ? ? ???????零級非簡并，故按非簡并微擾計算，我們需要計算微擾項在零級能量本征態(tài)空間的矩陣元，如下先計算 11H?2 2 3 3 1 2 2 30 , 0 , ,22iiH H H H??? ? ? ?? ? ? ? ? ?類似地，我們可以得到 以及 1322iH ?? ?（ 2） 的厄米性，其余的項按 給出 ij jiHH????H?將上述諸 的值代入（ 3）與（ 4）兩式，得第一能級的能量為 ijH?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?000 31211 1 2 30 0 0 01 2 1 3HHE E E E? ? ? ???? ? ???? ?? ? ? ? ? ? ? ?220 21 311 1 11 0 0 0 01 2 1 3HHE E HE E E E???? ? ? ???21 2E???? ? ?（ 3） （ 4） （ 5） 按非簡并微擾論能量精確到二級和態(tài)矢量精確到一級近似的計算公式為 20220222022iiiiii????????????