【正文】 1)0(s i nc o s00033體積及表面積體它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它的弧長它所圍成的面積求星形線已知??????ataytaxa? aoyx解 .1 0 A設(shè)面積為 由對稱性 ,有 ?? a y d xA 04? ? ??? 0223 )s in(c os3s in4 dtttata???? 20 642 ]s in[ s in12 dttta .83 2a??.2 0 L設(shè)弧長為 由對稱性 ,有 ?????? 2022 )()(4 dtyxL ??? 20 s inc os34 ?.,3 0 VS 體積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為由對稱性 ,有 ? ???? a x dxyyS 0 2122????? 20 3 s inc o s3s in4 tdttata .512 2a??? ?? a dxyV 0 22 ? ? ???? 02262 )s i n(c os3s i n2 dtttata????? 20 273 )s in1(s in6 dttta .10532 3a??例 2 ?,)2(。解 : 建立坐標(biāo)如圖 o xy [ , ]2 2 2? j ? j? ???則變量積分變量 [ , ]d? ? ??取微區(qū)間22 m p d s G m p G m pd F G R d dR R R?? ? ?則 0xF ?由對稱性 s i n s i ny Gmpd F d F dR? ? ???又2222 22 2 sin [ c os ]yG m p G m pFdRR???j j? ? ??? ? ? ??22c o s ( ) s in2 2 2G m p G m pRR? j j? ? ?22 2: s in2xyGmpF F FRj? ? ? ?引力大小方向 : 指向圓弧中點 作業(yè) :P259 110 定積分的應(yīng)用習(xí)題課 微 元 法 理 論 依 據(jù) 名稱釋譯 所求量 的特點 解 題 步 驟 定積分應(yīng)用中的常用公式 一、主要內(nèi)容 理論依據(jù) .)1()2()(,)()(,)()1()()(,],[)(定積分的微分的分就是這表明連續(xù)函數(shù)的定積于是即的一個原函數(shù)是則它的變上限積分上連續(xù)在設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa???????名稱釋譯 .)()(:)()(,)2(方法稱微元法計算積分或原函數(shù)的這種取微元積分的無限積累到從就是其微分所求總量知由理論依據(jù)dxxfdxxfUbadxxfdUAba???（ 1 ） U 是與一個變量 x 的變化區(qū)間 ? ?ba , 有關(guān)的量；（ 2 ） U 對于區(qū)間 ? ?ba , 具有可加性，就是說，如果把區(qū)間 ? ?ba , 分成許多部分區(qū)間，則 U 相應(yīng)地分成許多部分量，而 U 等于所有部分量之和；（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示為 ii xf ?)( ? ；就可以考慮用定積分來表達(dá)這個量 U . 所求量的特點 1) 根據(jù)問題的具體情況，選取一個變量例如 x 為積分變量，并確定它的變化區(qū)間 ],[ ba ；2 ）設(shè)想把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為 ],[ dxxx ? ，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量 U? 的近似值．如果 U? 能近似地表示為 ],[ ba 上的一個連續(xù)函數(shù)在 x 處的值 )( xf 與dx 的乘積，就把 dxxf )( 稱為量 U 的元素且記作 dU ，即 dxxfdU )(? ； 3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 為被積表達(dá)式，在區(qū)間 ],[ ba 上作定積分，得 ?? badxxfU )(， 即為所求量 U ． 解題步驟 定積分應(yīng)用的常用公式 (1) 平面圖形的面積 xyo)( xfy ??? ba dxxfA )(xyo )(1 xfy ?)(2 xfy ?? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12A A直角坐標(biāo)情形 a b a b如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 ?????)()(tytxyj曲邊梯形的面積 ? ?? 21)()(tt dtttA jy（其中 1t 和 2t 對應(yīng)曲線起點與終點的參數(shù)值）在 [ 1t , 2t ] （或 [ 2t , 1t ] ）上 )( tx j? 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)( ty y? 連續(xù) .參數(shù)方程所表示的函數(shù) ?? ?? ??j dA 2)]([21xo??d?)(?j?r ??xo)(2 ?j?r)(1 ?j?r? ?? ?? ??j?j dA )]()([21 2122極坐標(biāo)情形 (2) 體積 dxx?x y o dxxfV ba 2)]([?? ?dyyV dc 2)]([j???xyo)( yx j?cdxo?? ba dxxAV )(x dxx?a b平行截面面積為已知的立體的體積 )(xA(3) 平面曲線的弧長 xoya bx dxx??dy弧長 dxys ba? ???21A．曲線弧為 ?????)()(tytxyj)( ?? ?? t其中 )(),( tt yj 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)弧長 dttts ? ???? ?? yj )()( 22)( xfy ?B．曲線弧為 C．曲線弧為 )( ??? ??)(?rr ?弧長 ????? drrs ? ??? )()( 22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 x dxx? x y o )( xfy ?bxaxfy ???? ,0)(? ???? ba dxxfxfS )(1)(2 2側(cè)(5) 細(xì)棒的質(zhì)量 o x dxx ?)(x?xl????lldxxdmm00)(?(6) 轉(zhuǎn)動慣量 a b xyx dxx ?o????baba yydxxxdII)(2 ?))(( 為線密度x?(7) 變力所作的功 )(xFo a bx dxx ? x? ???????babadxxFdWW)((8) 水壓力 xyoabxdxx ?)(xf????babadxxxfdPP)(?)( 為比重?(9) 引力 xyx dxx ?oAl? l? ?? ?? ???llll yyxadxGadFF2322 )(?.0?xF )( 為引力系數(shù)G(10) 函數(shù)的平均值 ??? ba dxxfaby )(1(11) 均方根 ??? badxxfaby )(1 2二、典型例題 例 1 .3。 定積分在物理上的應(yīng)用 由物理學(xué)知道，如果物體在作直線運(yùn)動的過程中有一個不變的力 F 作用在這物體上，且這力的方向與物體的運(yùn)動方向一致，那么，在物體移動了距離 s 時，力 F 對物體所作的功為sFW ?? . 如果物體在運(yùn)動的過程中所受的力是變化的，就不能直接使用此公式，而采用“ 元 素法 ”思想 . 一、變力沿直線所作的功 例 1 把一個帶 q? 電量的點電荷放在 r 軸上坐標(biāo)原點處，它產(chǎn)生一個電場．這個電場對周圍的電荷有作用力．由物理學(xué)知道，如果一個單位正電荷放在這個電場中距離原點為 r 的地方，那么電場對它的作用力的大小為 2rqkF ? （ k 是常數(shù)），當(dāng)這個單位正電荷在電場中從 ar ? 處沿 r 軸移動到 br ? 處時，計算電場力 F 對它所作的功． 解 取 r 為積分變量， ro?q? ?a ?b? ? ? ? ???1?r],[ bar ?? drr?取任一小區(qū)間 ],[ drrr ? ,2 drrkqdw ?drrkqw ba?? 2barkq ???????? 1.11 ?????? ?? bakqdrrkqw a? ??? 2??????????arkq 1.akq?如果要考慮將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處 所求功為 功元素 例 2 : 一圓柱形蓄水池高為 5 米，底半徑 3 米，池內(nèi)盛滿了水 . 問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？ xoxdxx?取 x 為積分變量， ]5,0[?x5取任一小區(qū)間 ],[ dxxx ? ,建立坐標(biāo)系如圖 解 xoxdxx?5這一薄層水的重力為 ??, dxxdw ????dxxw ???? ? 5022 ???????? x34 62? (千焦 )． 功元素為 ,)( kxxf ??? 101 )( dxxfw ,2k?.)(0?? hh dxxfw例 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入 1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多少？ n設(shè) 次擊入的總深度為 厘米 hn次錘擊所作的總功為 n第一次錘擊時所作的功為 設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇? 解 ?? hh kxdxw 0 ,22kh?1nww h ? ? 22kh,2kn ??,nh ?.1?? nn次擊入的總深度為 n第 次擊入的深度為 n依題意知，每次錘擊所作的功相等． 由物理學(xué)知道，在水深為 h 處的壓強(qiáng)為hp ?? ，這里 ? 是水的比重．如果有一面積為 A的平板水平地放置在水深為 h 處，那么，平板一側(cè)所受的水壓力為 ApP ?? ． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的點處壓強(qiáng) p 不相等，平板一側(cè)所受的水壓力就不能直接使用此公式，而采用“ 元 素 法 ”思想． 二、水壓力 例 4 一個橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為 R ，水的比重為 ? ，計算桶的一端面上所受的壓力． xo取 x 為積分變量， ],0[ Rx ?取任一小區(qū)間 ],[ dxxx ?xdxx?小矩形片上各處的壓強(qiáng)近 似相等小矩形片的面積為