【正文】 我們假定在邊界層中， t具有 L/ue的量級(jí)。根據(jù)邊界層流動(dòng)的特點(diǎn)，可以選取 L 、 δ 及 U分別為 x,y及 u的特征值，并且可知： 0)(1)(122222222??????????????????????????????????????????yvxuyvxvypyvvxvutvyuxuxpyuvxuutu??????Re~~~0ee uLudyxuv ????? 故可取 為 v的特征量。設(shè)流速分布為： 則 定義 為邊界層形狀參數(shù)， 則此時(shí) 。單寬重量流體的動(dòng)能損失為流速水頭損失 ， 式中 q為二位流動(dòng)是單位寬度過(guò)水段面的體積流量。能量損失厚度定義為： 由能量厚度可以計(jì)算流動(dòng)的水頭損失。 與 和兩坐標(biāo)軸間所形成矩形 的面積即為邊界層厚度。邊界層中實(shí)際通過(guò)的流體動(dòng)量為 ，如果這些質(zhì)量通量具有的動(dòng)量為 ，則二者相差相當(dāng)于將固體壁面向流動(dòng)內(nèi)部移動(dòng)一個(gè) δ2的距離，即： δ2即稱為動(dòng)量損失厚度或簡(jiǎn)稱為 動(dòng)量厚度。 根據(jù)定義： 即為位移厚度的定義及計(jì)算公式。這個(gè)距離 δ1稱為邊界層位移厚度。有層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯狞c(diǎn)的雷諾數(shù)稱為臨界雷諾數(shù)。邊界層雷諾數(shù)還常定義為： 由于 ，因此 Rex與 Reδ 之間又確定的數(shù)量關(guān)系。式中 為無(wú)窮遠(yuǎn)處為受擾動(dòng)的來(lái)流流速， L為繞流物體的某一特征長(zhǎng)度，如平板的長(zhǎng)度，圓柱或圓球的直徑等。 U∞ U∞ U∞ x y o δ(x) 圖 51 粘性流體流經(jīng)平板的流動(dòng)情況 LVV ?? 22 ~???Re~LVL ?????粘性力與慣性力相當(dāng)，則有： 由此得： Re1~L?所以： 由此可見(jiàn)，在高雷諾數(shù)的條件下，邊界層厚度遠(yuǎn)小于被繞物體 的特征長(zhǎng)度，即 這與試驗(yàn)結(jié)果相符。大雷諾數(shù)的流動(dòng)繞過(guò)任何形狀的物體都會(huì)發(fā)生邊界層流動(dòng)。雷諾數(shù)越大，渦旋向 y方向傳播速度越小于向下游傳播速度，邊界層厚度越薄。旋渦同時(shí)也被流動(dòng)帶向下游。但對(duì)于粘性流動(dòng)由于平板壁面的存在，在邊界層內(nèi)產(chǎn)生流速梯度 ，從而在平板壁面上產(chǎn)生渦量 ，渦量從壁面向外傳播的范圍所及就是邊界層。邊界層的厚度隨距平板前緣的距離增加而增厚，說(shuō)明邊界層厚度沿流程逐漸發(fā)展， 。 UE為當(dāng)?shù)乇诿嫣幍挠袣W拉方程解得的勢(shì)流流速。這一流動(dòng)區(qū)域稱為邊界層，如圖51所示。 如設(shè)一極薄平板，順流放置于均勻平行流動(dòng)中，與為受擾動(dòng)的來(lái)流流速 平行。39。39。239。39。?U）（ Re1631Re24 ??DC??????????????????????????????????????????????39。根據(jù)奧辛近似方程的解可以求得圓球繞流的阻力系數(shù)為： xuu ??39。這樣， NS方程寫(xiě)為： 邊界條件與 NS方程相同。39。39。39。 。39。39。于是 NS方程的慣性項(xiàng)可以分解為兩部分： 39。以至在一定距離處粘性力項(xiàng)終于下降到與慣性力項(xiàng)相同的數(shù)量級(jí)，甚至更小，斯托克斯方程已經(jīng)不能使用。 AUFCD 221???Re24?DC0033216UrFUrF??????434 奧辛近似 另一個(gè)低雷諾數(shù)的近似解為奧辛近似。eUururr??????443300rUArUC?????][43]3[4 310513301 r rxrerUr rxrerUeUu ????? ???3103103 23)43(22rxrUrxrUrrCp?? ?????? ????1010 6)43(88 erUerUCF?? ?????? ??????? 如果令： 為阻力系數(shù)，則斯托克斯關(guān)于均勻流中球體的阻力系數(shù)為 對(duì)斯托克斯流動(dòng)的眾多研究成果都表明，不同形狀物體的阻力都是與來(lái)流流速，流體的粘性系數(shù)以及物體的特征尺度成正比，只是正比常數(shù)各有區(qū)別，例如，半徑為 r0的薄圓盤(pán)所受的阻力為： 當(dāng)圓盤(pán)正面向前運(yùn)動(dòng)時(shí) 當(dāng)圓盤(pán)側(cè)緣向前運(yùn)動(dòng)時(shí) 可見(jiàn)盡管圓盤(pán)與圓球的形狀有顯著差別，但其阻力比圓球只分別低 15%和 43%。 10。eUurrurr???????]3[2 5131301 r rxrerUeUu ??? ??])([])(3[ 3531 r rrrCr rrrAeUu ??????? ? ????][]3[ 315131 r rxreCr rxreAeU ????? ? 邊界條件為： 可解出： 從而圓球繞流的斯托克斯流動(dòng)的流場(chǎng)為： 其壓強(qiáng)場(chǎng)由（ 427）式代入 C值可得： 圓球受到流體作用于它上面的力 說(shuō)明受力方向與來(lái)流一致，為阻力。邊界條件為： 于是圓球繞流的勢(shì)流流場(chǎng)為： 在斯托克斯流動(dòng)中，既考慮流體粘性但雷諾數(shù)很小的流動(dòng)情況，圓球繞流為均勻流，偶極子與斯托克斯極子的疊加，由（ 426），（ 428）式可知流場(chǎng)為： ?U])(3[ 531 r rrrAeUu ???? ? ??1e??10。直角坐標(biāo)系的 x1方向，在勢(shì)流中均勻流繞過(guò)球體的流動(dòng)為均勻流與偶極子的疊加。339。 )(2 urrrCurpu ????? ??39。2 ?? u02 ?? prp 1?? ru ln? 時(shí)當(dāng) ??r32)1(2rrCrp?????? ????39。2 upru ???39。這個(gè)基本解所對(duì)應(yīng)的流速 ， u趨于零，因此這個(gè)基本解不適用。壓強(qiáng) p是和函數(shù)，滿足三位拉普拉斯方程 。偶極子同樣不施加任何力或力矩于周圍的流體。 對(duì)于三位軸對(duì)稱勢(shì)流，采用球 坐標(biāo)（ r， θ， φ）， 則位于原點(diǎn)的 偶極子所引起的流動(dòng)中： （ 425） 流速則為： （ 426） 式中 是流場(chǎng)中點(diǎn)位置向量， A為偶極強(qiáng)度， 為偶極矩方向的單位向量。這時(shí)只有壓強(qiáng)項(xiàng)也為零，即 。 ??x ????ppuUu,0constpUu ?? ,2 偶極子 由于任一勢(shì)流解同時(shí)也必然是 NS方程的精確解，因?yàn)閷?duì)于勢(shì)流， NS方程中的粘性項(xiàng)恒等于零。即 這個(gè)速度場(chǎng)合壓強(qiáng)場(chǎng)中不產(chǎn)生力和力矩的作用。 432 斯托克斯的一些基本解 1 均勻解 斯托克斯方程最簡(jiǎn)單的基本解即為均勻解。與連續(xù)方程（ 424）聯(lián)立共有 4個(gè)分量方程式和 4個(gè)未知量，流速 u1， u2 ， u3 和壓強(qiáng)p。將球心取為坐標(biāo)遠(yuǎn)點(diǎn)，使用球坐標(biāo)系。式中 C表示斯托克斯極子的強(qiáng)度， 為極矩方向的單位向量。 431斯托克斯方程 最基本的低雷諾數(shù)流動(dòng)的近似解法是斯托克斯近似，雷諾數(shù)表征慣性力與粘性力之比，因此在低雷諾數(shù)流動(dòng)中假定慣性項(xiàng)可以忽略。 流動(dòng)雷諾數(shù) 決定于流體的物性包括密度 ρ 和粘度 μ和流動(dòng)的特征物理量包括特征速度 U及特征長(zhǎng)度 L。斯托克斯第 二問(wèn)題說(shuō)明平板的振動(dòng)向流體 內(nèi)部傳播也是通過(guò)流體的粘性， 而且與振動(dòng)頻率 ω有關(guān)， ， 可見(jiàn) ，因此兩個(gè)結(jié)論相同。 (422) 斯托克斯第一問(wèn)題說(shuō)明粘性流動(dòng)中固體壁面對(duì)流動(dòng)的影響范圍即邊界層厚度 δ與流體運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù) ν和時(shí)間 t 乘積的平方根成正比。在 y=0處振幅最大，與平板相同為 U0， 隨 y值得增加振福按指數(shù)規(guī)律衰減。由 圖還可看出，對(duì)于流場(chǎng)中的某給定 點(diǎn) y處，其流速隨時(shí)間的增加而增 大，當(dāng) 時(shí)該點(diǎn)流速可達(dá)到 U0. ,0??? ?? e rf cUu???????tt ????? ???? 0Uu??t 1 2 u/U0 圖 46 u/U0沿 η分布 η=y/2 422 振動(dòng)平板引起的流動(dòng)（斯托克斯第二問(wèn)題） 無(wú)限平板沿自身平面做簡(jiǎn)諧振動(dòng)通過(guò)粘性而帶動(dòng)周圍原來(lái)處于靜止的流體所形成的流動(dòng)。有此可見(jiàn)平板通過(guò)流體粘性而帶動(dòng)的流體運(yùn)動(dòng)只 發(fā)生在 的薄層以內(nèi)。39。 0,00,0Uutut????)()0(???yyy任意值0?uty?? 2? )(0 ?fUu ?02 39。 坐標(biāo) 系如圖 26所示。 因?yàn)槭瞧叫辛鲃?dòng)， 。 從而帶動(dòng)其周圍原來(lái)處于靜止的不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)。流速分布公式為： （ 412） dxdp Cdxdp ??Crdrdudr udr ?122 ???1221 CrCdrdur ????00,0 1 ?????? Cdrdurdrdur 從而)(41 220 rrCu ??? ?2020 4 1,0, CrCurr ?????2241 CCru ??? ?x u r 0 r 圖 44層流的圓管流動(dòng) 管道中心處 r=0,此處流速最大，即 （ 413） 沿?cái)嗝娣e分（ 213）式可得流量 Q , （ 414） 從而可計(jì)算斷面平均流速 um: （ 415） 這就是圓形管道粘性流動(dòng)情況下 NS方程的精確解，但它只是在圓管流動(dòng)為層流時(shí)成立。令 ，（ c） 可改 寫(xiě)為： 積分之： 當(dāng) 。 由連續(xù)方程 可得 NS方程可寫(xiě)為：