【正文】 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 3． 要清楚廣義根軌跡的繪制方法 ， 以及根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的廣義根軌跡參數(shù)的變化分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 。 2. 正確理解根軌跡的基本概念，掌握給制根軌跡的基本法則，根據(jù)根軌跡圖和主導(dǎo)極點(diǎn)、偶極子的概念對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行分析。 p1= ， p2,3= 177。 p1= 3， p2,3= 177。 p1= ， p2,3= 177。 p1= ， p2,3= 177。 ( 1 )( ) ( )( 1 ) ( 2 )KsG s H ss s s? ????解： 特征方程 (1) 當(dāng) ? = 0 時(shí)： 構(gòu)造一個(gè)新系統(tǒng)： 繪制 K： 0 ? ? 變化時(shí)的根軌跡 ( ) ( 1 ) ( 2 ) 0D s s s s K? ? ? ? ?11( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )KG s H ss s s? ??自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 ⑤ 分離點(diǎn) sd： 解得 ① 開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)： p1= 0， p2= 1， p3= 2 ② 三條，都趨于無(wú)窮遠(yuǎn) ③ 實(shí)軸上 (1, 0), (?, 2) ④ 漸近線(xiàn)： aa( 1 ) ( 2 )6 0 , 1 8 0 , 6 0 13??? ? ?? ? ? ? ?ddd1 1 1 011sss? ? ???d 1 d 23, 77(ss? ? ? ? 舍 去 )自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 ⑥ 與虛軸交點(diǎn)： *2 , 0 6K? ? ? ?112341212j 0 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (2) 再作 ? ? 0 時(shí)的根軌跡： 構(gòu)造一個(gè)以參數(shù) ? 為開(kāi)環(huán)增益的系統(tǒng) 其起點(diǎn)都在 ? = 0 時(shí)， K 變化的根軌跡上。 這樣就把廣義根軌跡的問(wèn)題看成是嵌套在另一種根軌跡的問(wèn)題中 。 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 G2(s)H2(s)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)與 1+G1(s)H1(s)的根是一致的 。 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (2) 第二步：還原 ? 的值， ? ? 0，用 Q(s) + ? W1(s) 除方程的兩邊，得 2221()1 + 0 1 ( ) ( ) 0( ) ( )Ws G s H sQ s W s??? ? ??根據(jù) 的零、極點(diǎn)分布繪制 (*)的廣義根軌跡。若設(shè) ? = 0，于是上式變?yōu)? 1( ) ( ) 0Q s W s???自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 等效變換，用 Q(s)除方程的兩邊，得 111()1 0 1 ( ) ( ) 0()Ws G s H sQs?? ? ? ?根據(jù) 的零、極點(diǎn)分布繪制根軌跡。 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 二、雙參數(shù)根軌跡 假設(shè)特征方程 式中 ?、 ? 為可變參數(shù)， Q(s), W1(s), W2(s) 為 s 的多項(xiàng)式。 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 常規(guī)根軌跡： 1**1()()1 ( ) ( ) 1 1 0()()mjjniiszNsG s H s K KDssp???? ? ? ? ? ????特征方程 參數(shù)根軌跡：從系統(tǒng)的特征方程出發(fā) ， 引入等效傳遞函數(shù)的概念 ， 構(gòu)造一個(gè)新系統(tǒng) ， 使新系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母 (特征式 )與原系統(tǒng)一樣 ， 而新系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益恰為原系統(tǒng)的參數(shù) (即以可變參數(shù)代替原來(lái)的 K*)， 得到 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 ()10()PsQs???( ) ( )單 參 數(shù) 根 軌 跡參 數(shù) 根 軌 跡雙 參 數(shù) 多 參 數(shù) 根 軌 跡 族???自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 根軌跡的繪制規(guī)則： (1) 根軌跡的分支數(shù)： (2) 根軌的對(duì)稱(chēng)性： (3) 根軌的起點(diǎn)、終點(diǎn)： (4) 根軌在實(shí)軸上的分布： (5) 根軌跡的漸近線(xiàn)： (6) 根軌跡的分離點(diǎn)坐標(biāo)： 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (7) 實(shí)軸上的分離角 (與會(huì)合角 )： (8) 根軌跡的起始角和終止角： (9) 根軌跡與虛軸交點(diǎn)及臨界根軌跡增益： (10) 閉環(huán)極點(diǎn) (根 )的和與積： 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 例 已知系統(tǒng) 試作 ?從 0 ? ? 變化的閉環(huán) 根軌跡。 一、參數(shù)根軌跡 定義：以非開(kāi)環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡 ， 稱(chēng)為 參數(shù)根軌跡 。 例如，系統(tǒng)的 參數(shù)根軌跡 ，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于極點(diǎn)個(gè)數(shù)的時(shí)的根軌跡，以及零度根軌跡 （正反饋系統(tǒng)或某些非最小相位系統(tǒng)）等。 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 廣義根軌跡 通常，將反饋系統(tǒng)中 K*變化時(shí)的根軌跡叫做常規(guī)根軌跡 。 d d ddd1 1 1 1 1112 j 2 3 2 j 2 3s s sss? ? ? ???? ? ? ?自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (7) 起始角： 343 1 3 13 2 3 4( 2 1 ) π ( ) ( )( ) ( )( 2 1 ) π 1 0 6 1 2 0 1 3 0 .5 9 0ppk p z p pp p p pk??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 (8) 與虛軸交點(diǎn)坐標(biāo)及臨界增益： 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 2*( 1 ) ( 4 1 6 ) ( 1 ) 0s s s s K s? ? ? ? ? ?展開(kāi)，整理得 4 3 2 * *3 1 2 ( 1 6 ) 0s s s K s K? ? ? ? ? ?令 s=j?， 則有 4 2 *3*1 2 03 ( 1 6 ) 0KK????? ? ? ?? ? ? ? ??自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 解之 *1 , 2*3 , 41 .5 6 ( 2 3 .3 )2 .5 6 ( 3 5 .7 )KK??? ? ?? ? ?由圖看出 ， 當(dāng) K*在 ~ ， 根軌跡位于 s平面左側(cè) ， 閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。和 0186。 (5) 分離點(diǎn)坐標(biāo) sd： (6) 實(shí)軸上的分離角與會(huì)合角： 177。 所以系統(tǒng)可以近似為二階系統(tǒng)，即 21()0 . 0 1 0 . 0 8 1s ss?? ??系統(tǒng)的 ?＝ ， ?n＝ 10 s1 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 2π /1sn% e 100% 25% st???????? ? ???對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo) 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 四、 系統(tǒng)階躍響應(yīng)的根軌跡分析 例 某負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 試作系統(tǒng) K* (由 0??)變動(dòng)的閉環(huán)根軌跡，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析。 2( 0 .9 1 )()( 1 )( 0 .0 1 0 .0 8 1 )sss s s???? ? ?解： 閉環(huán)傳遞函數(shù)有三個(gè)極點(diǎn)，分別為 s1=1， s2,3=4177。 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 這樣，在許多情況下，同時(shí)考慮偶極子的處理原則后，高階系統(tǒng)往往只剩下二、三個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)和一、二個(gè)零點(diǎn)，這樣就可以估算階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)，從而簡(jiǎn)化了高階系統(tǒng)的分析研究工作。 主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的性能影響最大 ， 遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的影響很小 。 工程上 ， 某零 、 極點(diǎn)之間的距離比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí) ， 則它們就構(gòu)成了偶極子 。 可以看出：為提高快速性 ， 應(yīng)加大 ??n ， 即特征根的實(shí)部絕對(duì)值要大一些 ， 即 s1,2遠(yuǎn)離虛軸 。 系統(tǒng)的階躍響應(yīng)式為 1( ) 1 e tTct ???快速性指標(biāo) 3stT?可以看出：為提高系統(tǒng)的快速性，減小調(diào)節(jié)時(shí)間，應(yīng)使時(shí)間常數(shù) T小一些，及特征根的絕對(duì)值 大一些，即 s1遠(yuǎn)離虛軸。從而看出：閉環(huán)極點(diǎn)之間的距離 (sksi)要大；零點(diǎn) zi應(yīng)靠近極點(diǎn)sk。 二、主導(dǎo)極點(diǎn)與偶極子 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 3. 要求動(dòng)態(tài)過(guò)程盡快消失，要求系數(shù) Ak要小， 因?yàn)?Ak小，對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量小。 45186。 2. 要求系統(tǒng)快速性好，應(yīng)使階躍響應(yīng)式中的每個(gè)分量 eskt衰減得快，則閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離虛軸。 1( ) ( 0 ) e knstkkc t A A??? ?自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 一個(gè)控制系統(tǒng)總是希望它的輸出量盡可能地復(fù)現(xiàn)給定的輸入量，要求動(dòng)態(tài)過(guò)程的快速性、平穩(wěn)性要好一些。 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 j p1p2pOj p1p2pO pc3p例如： 0cc( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )KKG s G s p ps s p s s p s p? ? ? ?? ? ?自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 () ( 2 )KGs ss? ?自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 4() 2 )) ((KGsss s ?? ?自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 1() 2 )) ((KGsss s ?? ?自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 () ( 2 )KGs ss s? ??自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 二、增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)的影響 例如： 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)可以使根軌跡左移，有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性。 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)變化時(shí)的根軌跡 根軌跡的形狀與開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)的分布密切相關(guān)。 ()()K s bs s a??R ( s ) C ( s )( 0 )ba ??(1) 開(kāi)環(huán)極點(diǎn)： p1= 0， p2= a 開(kāi)環(huán)零點(diǎn)： z1 = b 解： 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域分析法－根軌跡法 j a b1p2p1zO(2) n = 2 ， 根軌跡有 2條分支； 自動(dòng)控制原理 第四章 復(fù)域