微積分三大中值定理詳解(參考版)
2025-01-23 05:32本頁面
【正文】 P199 T5 P196~202 習(xí)題 四 相關(guān)練習(xí)自選完成 作業(yè) 先看書 再做練習(xí) 。2)(39。2)()( ??即? 又因為 f(x)在 [a,b]上滿足拉格朗日中值定理，所以在 (a,b)內(nèi)至少存在一點 ξ，使得 )(39。)()( fabafbf ???微積分（一） calculus ? 左邊分母有理化 )(39。)(39。 微積分（一） calculus ? 例 17： 設(shè) f(x)在 [a,b]上連續(xù)，在 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：在 (a,b)內(nèi)存在一點 ξ， η,使得 abff???)(39。( ) ( ) [ 1 2] ,( 1 , 2)( 2) ( 1 ) ( )( 1 2)( 2) ( 1 ) ( )f x x g x xg x xxf x g xf f fg g g????? ? ?? ? ? ???? ? ???由 于 在 ， 上 連 續(xù)在 內(nèi) 可 導(dǎo) 且所 以 與 在 ， 上 滿 足 柯 西 定 理 條 件因 此 在 內(nèi) 至 少 存 在 一 點 ， 使 解微積分（一） calculus 5 2 ( ) 2l n 2 l n 1 ( ) 133。 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g???? ??? 2) 在開區(qū)間 ),( ba內(nèi)可導(dǎo) 。( ) a rc s i n , ( ) [ , ]( ) ( ) ( )( ) ( )f x x f xf f f? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?若 ， 不 妨 設(shè) 。論求拉格朗日定理，并由結(jié)上滿足，在驗證函數(shù)?]10[a r c t a n)( xxf ?解 答 ).10(4411)(11)(40a r c t a n1a r c t a n01)0()1()()1,0()10(]10[a r c t a n)(22???????????????????????????????fxxffffxxf又，使得點內(nèi)至少存在一所以在滿足拉氏定理的條件，內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在，在由于4 (0 , 1 ) ( )????? ? ? 舍 去微積分（一） calculus 時 , 例 10 證明 : 當(dāng) 證 設(shè) 對 在 [0, ]x 上應(yīng)用 拉氏中值定理 , ),0( x???, 使 即 因 0,x??? 所以 即 微積分（一） calculus ( ) [ , ] ( , )( , ) ,( ) ( )( ) ( )11 f x a b a babb f b a f affba?? ? ??????已 知 在 上 連 續(xù) , 在 內(nèi) 可 導(dǎo) ,證 明 在 內(nèi) 至 少 存 在 一 點 使 得例( ) ( ) ,( ) [ , ] ,( ) [ , ]( ) ( )( ) ( )F x x f xF x a b a bF x a bF b F aF a bba??????? ? ??設(shè) 根 據(jù) 已 知 可 得 ：在 上 連 續(xù) , 在 () 內(nèi) 可 導(dǎo) ；在 上 滿 足 拉 格 朗 日 定 理 條 件 .明故 有證微積分（一） calculus 39。( ) 0 。 證明： 構(gòu)造函數(shù) ()() xfxFxe?2( ) ( )()()xxxf x e e f xFxe? ?? ?39。2a r c sin a r c c os .2xcxx??????令 , 得故 有微積分（一） calculus 例 8 已知函數(shù) f(x)在 (??,+?)內(nèi)滿足關(guān)系式f 39。1 , [ 1 1 ] ( ) ,a r c sin a r c c o s .f x x xfxfxf x c cx x c????? ?????令 。 . 注意 3)題型 2：找區(qū)間； 4)題型 3：找函數(shù)； 5)題型 4：證明等式； 6)題型 5：證明不等式 。 至少有一點 ( ) ,ab?? ?? 使 得若函數(shù) )(xf滿足： a b o y A B x )( xfy ??C ?( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )f b f a f b a????則在 ),( ba內(nèi) 定理 微積分（一） calculus 幾何意義： 在連續(xù)、光滑的曲線弧上，除端點外處處有不垂直于 x 軸的切線，則在曲線弧上至少存在一點 C，在該點處的切線與連接兩端點的弦平行 . a b o y A B x )( xfy ??C ?( ) ( )?f a f b當(dāng) 時 ， 結(jié) 論 就 是 羅 爾 定 理 ,即 羅 爾 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定注 ：理 的 特 例 .微積分（一） calculus 分析 要證 即證 即證 令 ( ) ( )( ) ( ) ( )? ?? ? ??f b f ax f x x aba只須證 ( ) 0 ,??? ?只須證 )(x?在 ],[ ba上滿足羅爾定理條件 . 微積分（一） calculus 證明 易見 )(x?在 ],[ ba上連續(xù)， 在 ),( ba內(nèi)可導(dǎo)， 且 即 根據(jù) 羅爾定理 知， ),( ba???使 ( ) 0 ,??? ?即 即 構(gòu)造輔助函數(shù) 微積分（一） calculus 2) 定理結(jié)論肯定中間值 的客觀存在
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