[理學(xué)]第1章?tīng)羁毡磉_(dá)式(參考版)
2025-01-22 14:57本頁(yè)面
【正文】 0 1 16 11 66 11 5A?????? ? ???????解 (1)求 A的特征值 116 11 6 06 11 5IA?????? ? ? ? ??32 6 1 1 6 0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 0? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?即 ，或1 2 3123? ? ?? ? ? ? ? ?特征值 ， ，(2)求 ?1= 1 的特征矢量 P1= [p11 p21 p31]T 按定義： AP1= ?1P1 1 1 1 12 1 2 13 1 3 10 1 16 1 1 66 1 1 5pppppp??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ?1 1 2 1 3 11 1 2 1 3 11 1 2 1 3 106 10 6 0 ,6 11 6 0p p pp p pp p p? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??即 2 1 1 1 3 10,p p p??解得111 1 3 1 1 2 1311 1 , = 01pp p P pp?? ???? ??? ? ??? ???? ??????令 于是(3)同理 ,求 ?2= 2的特征矢量 122 2 2321=24pPpp?? ???? ????? ???? ??????對(duì)應(yīng)于 ?3= 3的特征矢量 31=69P??????????則有 變換陣 T =[ P1 P2 P3 ] 三 . 狀態(tài)空間表達(dá)式 變換為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 C T zyBuTJzzCxyBuAxx??????? 1??變換為將根據(jù)系統(tǒng)矩陣 A,求其特征值 ?i,寫出 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 J 無(wú)重根時(shí) 有重根 (q個(gè) 重根 ?1) ???????????????? ?nATTJ????2110 0 ????????????????????????nqJ????????1111110 0 0 0 0 0 介紹幾種求變 換陣 T 的方法 1. A陣為任意形式 (1) A無(wú)重根 設(shè)系統(tǒng)矩陣 A有 n個(gè)不相等的特征根 ?i(i =1,2,… n),相應(yīng)地有 n個(gè)不相等的特征矢量 Pi(i =1,2,… n), 所以有變換陣 T =[P1 P2 … Pn] 根據(jù)矩陣論中的知識(shí)，可知 : ????????????????nATT????2110 0 P1… Pn的求法 : (?iI ?A) Pi = 0 練習(xí)題 1 15(2)、 16(2) 、 17 、 19(1) 、 112 、 。 ? ? )2,1(21 nipppp Tniiii ?? ??則稱 pi是 A的對(duì)應(yīng)于 ?i 的特征矢量。 (3) 特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)對(duì)。 (2)經(jīng)非奇異變換 ,系數(shù) a0, a1… an1為 系統(tǒng)的不變量。 ????????????????2111 311021xxxTz21221 232121 xxzxz ???即變換后的狀態(tài)空間表達(dá)式 111 1 10 1 0 2 6 2 0 1 2112 1 3 1 3 2 0 2 1 3 0z T AT z T b uzu????? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 02 3 1z u A z b u? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?110 1 1 1 /21( 0 ) ( 0 )2 1 3 1 1z T x? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? xyuxx30023120??????????????????? ? zzCTy ????????0226301? ? zCz ??? 061222 1 1 12 ) ,1 1 1 2TT?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?若取 即則變換后 121 1 1 2z T x x? ???? ???? 1 0 20 2 2z u Az bu? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?2 210 3 3 311y CT z z z??? ? ?????=Cz112 2 2z T A T z T b u????121 1 1 0( 0 ) ( 0 ) 1 2 1 1z T x? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?() 3)若欲將式 ()的 變?yōu)? ,求變換陣 T3 22b???????? 11b ??? ???? 1 13321 ,21b T b T? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ?3 12 ,12T? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?2 0 1 20 2 1 2? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?由于32002T????????可選 131 / 2 00 1 / 2T? ??? ?????此時(shí) 13z T z??113 3 31 0 10 2 1z T AT z T b u z u?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ?313660( 0 ) ( 0 )1 / 2y C T z zz T z?? ? ????? ????? DuCxyBuAxx?????11 1 0( 1 ) 0nn nI A a a a? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?是 的根。 設(shè)系統(tǒng)為 DuCxyxxBuAxx????? 0)0(? (137) 總可以找到任意一個(gè) 非奇異矩陣 T， 將原狀態(tài)矢量 x 作 線性變換 ， 得另一狀態(tài)矢量 z， 設(shè) 變換 關(guān)系為： xTzTzx 1??? 即代入式 (137), 得到 新的 狀態(tài)空間表達(dá)式 將 x = Tz 代入式 (137), 得 0( 0 )T z AT z Buy CT z D uT z x????????新 狀態(tài)空間表達(dá)式 1110( 0 )z T A Tz T B u A z B uy C Tz D u C z D uz T x?????? ? ? ? ????? ? ? ???(138) 11A T A TB T B???? ??? ? ???C C TDD? ??? ? ??式中 DuCxyxxBuAxx????? 0)0(?(137) 由于 T為任意非奇異陣 , 故狀態(tài)空間表達(dá)式為非唯一的。 15 狀態(tài)矢量的線性變換 一 . 狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性 同一系統(tǒng) , 由于所選狀態(tài)變量不同 , 可以建立許多狀態(tài)空間表達(dá)式。28)(1)1( 式的形式時(shí)，輸出方程有即當(dāng) nm bbmn ??? ? 。 ∑Lm — 所有 m個(gè)互不接觸回路增益乘積之和 . 模擬圖 u b0 y1?na2?na1a0a?+ + + 1x2x1?nxnx ?? ??nnnnnsasasasasbsW?????
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