北京市朝陽(yáng)區(qū)2009屆高三一模理科數(shù)學(xué)試卷(參考版)
2025-01-17 15:52本頁(yè)面
【正文】 令,即,解得,所以函數(shù)的遞減區(qū)間是. ………………6分 (Ⅱ)設(shè)，則切線的斜率，則切線的方程是，設(shè)切線與軸、軸的交點(diǎn)為、令，由題意可知，解得，所以；令，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，△面積的最小值為2.此時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)是． ………………13分(可求導(dǎo)或用二次函數(shù)求得的最大值)(19) 解：（Ⅰ）因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為所以且由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸為4的橢圓（去掉長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），所以．故頂點(diǎn)的軌跡方程為．………………4分（Ⅱ）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為．由得，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為,故垂直平分線的方程為，令，得與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由得，解得，又因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)遞減，所以．所以，．故直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是． ………………13分 (20) 解：（Ⅰ）已知式即，故．因?yàn)?，?dāng)然，所以．由于，且，故．于是 ，所以 ． ………………4分（Ⅱ）由，得，故．從而 ．因此．設(shè)，則，故，注意到，所以．特別地，從而．所以． ………………9分（Ⅲ）易得．注意到，則有，即， 整理得 ． ①當(dāng)時(shí)，由① 得．因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，由① 得． ②因?yàn)?，故②式右邊必?的倍數(shù)，而左邊不是3的倍數(shù)，所以②式不成立，即當(dāng)時(shí)，不存在，使得①式成立．綜上所述，存在正整數(shù)，使得成立．………………14分第 12 頁(yè) 共 12
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