數(shù)學分析習題解答(2)(參考版)
2025-01-17 02:35本頁面
【正文】 (2) 證:(1) 設(shè)的元素為 ,則為 的代數(shù)余子式.于是 .從而 因為對一切的 都成立,所以 . (2) 利用課本 頁關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理有.易見 是 . 4. 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的階偏導數(shù),試證函數(shù)的階導數(shù).證: 應(yīng)用數(shù)學歸納法證明 當時,有. 令 . 則.對 應(yīng)用時的結(jié)論知: 所以對一切的,有 .5. 設(shè) ,求 .解: 由行列式求導法則知 .6. 設(shè) ,求 . 解: 7. 設(shè)函數(shù) 在上有,試求關(guān)于的函數(shù)式.解: 若在上連續(xù),則.對上任意兩點,由中值定理知:.所以 由,對的任意性知 .再求關(guān)于的函數(shù)式.因 , 據(jù)上述結(jié)論知 .因而.從而 所以 .8. 設(shè)在點可微,且在給定了個向量, .,……所以 而 故 9. 設(shè)為次齊次函數(shù),證明:.證 因為為次齊次函數(shù),所以 .令 ,代入上式并兩邊對求導得.再對求導次得.令,則 ,從而 .11. 對于函數(shù) ,試證 證 因為 所以 。12. 已知平面上n個點的坐標分別是試求一點,使它與這n個點距離的平方和最小.解 設(shè)所求的點為，它與個點距離的平方和為由因由11題知為所求點。又這就是說，存在一個圓 使得當時，有。故面積最大的三角形為邊長為的等邊三角形，面積。因與在D內(nèi)有相同的可疑極值點，所以考慮函數(shù)。10. 在已知周長為 的一切三角形中，求出面積最大的三角形.解：設(shè)三角形的三邊分別是x,y,所述問題就是求函數(shù)上的最大值。(3) 解：解方程組得因此穩(wěn)定點在上。
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