【正文】 在 PID參數整定時通過仿真可以很好的觀察到PID控制器參數變化對系統(tǒng)的影響，對比例，積分，微分對控制系統(tǒng)的作用有了更直觀的認識，學會了 PID參數的整定方法 ,并學 會 用狀態(tài)空間極點配置法設計直線倒立擺系統(tǒng)的控制器。 圖 54 直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置 MATLAB/Simulink 仿真結果 6 總結 直線一級倒立擺系統(tǒng)的設計，使我掌握了用 Matlab/simulink來進行系統(tǒng)設計仿真的方法，并體會到了用 Matlab/simulink進行控制器設計的方便與快捷。 圖 53 A、 B、 C、 D 參數設置 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 26 依次打開 Gain、 Gain Gain Gain3 模塊設置 K K K K4 的值。 (2) 計算特征值 根據要求，并留有一定的裕量（設調整時間為 2 秒），我們選取期望的閉環(huán)極點? ?1, 2,3, 4isi??? ，其中： 1 2 3 410 , 10 2 2 3 , 2 2 3jj? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其中， 34,??是一對具有 , 4n????的主導閉環(huán)極點， 12,??位于主導閉環(huán)極點左邊， 因此其影響較小，因此期望的特征方程為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 44 3 21 0 1 0 2 2 3 2 2 32 4 1 9 6 7 2 0 1 6 0 0s s s s s s s j s js s s s? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 因此可以得到： 1 2 3 424 , 196 , 720 , 1600? ? ? ?? ? ? ? 由系統(tǒng)的特征方程： 421 0 00 0 0 2 9 .40 0 10 0 2 9 .4sssI A s ssss?????? ? ? ??????? 因此有 ： 1 2 3 40 , , 0 , 0a a a a? ? ? ? ? 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 24 系統(tǒng)的反饋增益矩陣為： ? ? 14 4 3 3 2 2 1 1K a a a a T? ? ? ? ?? ? ? ? ? (3) 確定使狀態(tài)方程變?yōu)榭煽貥藴市偷淖儞Q矩陣 T ： T MW? 式中： 230 1 0 01 0 0 00 3 0 8 8 .33 0 8 8 .2 0M B A B A B A B?????????????? 3 2 12111 0 2 9 .4 0 11 0 2 9 .4 0 1 01 0 0 0 1 0 01 0 0 0 1 0 0 0a a aaaWa?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 于是可以得到： 0 1 00 0 10 0 3 00 0 0 3T M W???????????? 1 4 0 13 00 4 0 130 0 3 00 0 0 3T ?????????? (4) 狀態(tài)反饋增益矩陣 K 為： ? ?? ?? ?14 4 3 3 2 2 1 10. 03 4 0 0. 01 13 00 0. 03 4 0 0. 01 1316 00 0 72 0 0 19 6 29 .4 24 00 0 0. 33 3 00 0 0 0. 33 354 .4 21 8 24 .4 89 8 93 .2 73 9 16 .1 63 3K a a a a T? ? ? ? ?? ? ? ? ???????? ? ? ? ???? ? ? 得到控制量為： 54 .42 18 24 .48 98 93 .27 39 16 .16 33u KX x x ??? ? ? ? ? ? 在 MATLAB 的 Simulink 環(huán)境下，可以搭建如圖 52 所示的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)仿真 模型 。 (5) 需要的狀態(tài)反饋增益矩陣 K 由以下方程確定： ? ? 11 1 2 2 1 1n n n nK a a a a T? ? ? ? ???? ? ? ? ? 極點配置及 MATLAB 仿真 前面我們已經得到了直線一級倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 2 9 .4 0 3xxu??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 23 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? 于是有： 0 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0A?????????，0103B???????????????， 1 0 0 00 0 1 0C ??? ????， 00D ??????? 對于如上所述的系統(tǒng)，設計控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調整時間（約 3 秒）和合適的阻尼（阻尼比 ?? ）。 (2) 從矩陣 A 的特征多項式 111nn nnsI A s a s a s a? ?? ? ? ? ? ? 來確定 12,na a a 的值。 方程解為： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 22 ? ? ? ? ? ?0A BK tx t e x?? 可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控， K 選擇適當，對于任意的初始狀態(tài)，當 t 趨于無窮時，都可以使 ??xt 趨于 0。 選擇控制信號： u KX?? 求解上式，得到 ? ? ? ? ? ?x t A BK x t?? 閉環(huán)系統(tǒng)極點為 ABK 的特征值。 狀態(tài)空間分析 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖如圖 51 所示。極點配置方法如下所述：如果系統(tǒng)是完全可控的，那么可選擇期望設置的極點，然后以這些極點作為閉環(huán)極點來設計系統(tǒng)，利用狀態(tài)觀測器反饋全部或部分狀態(tài)變量，使所有的閉環(huán)極點落在各期望位置上，以滿足系統(tǒng)的性能要求。 極點配置是通過選擇一個狀態(tài)反饋矩陣，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點處于期望的位置上。當采用狀態(tài)空間表達式來描述系統(tǒng)時，由于狀態(tài)向量反映系統(tǒng)的所有內外部信息，如果控制器采用狀態(tài)向量反饋實現系統(tǒng)的極點配置，就可以避免基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 21 上述問題，而且控制器是常數矩陣。而現代控制理論由于采用系統(tǒng)內部的狀態(tài)變 量來描述系統(tǒng)的物理特性，因而除了輸出反饋外，還經常采用狀態(tài)反饋 ，因為它能提供更多的校正信息和可供選擇的自由度，因而使系統(tǒng)容易獲得更為優(yōu)異的性能。 由經典控制理論可知，閉環(huán)系統(tǒng)性能與閉環(huán)極點密切相關，用調整開環(huán)增益及引入串并、聯校正裝置來配置閉環(huán)極點，以改善系統(tǒng)性能 。 現代控制理論是一種“時域法”，它引入了“狀態(tài)”的概念，用“狀態(tài)變量”及“狀態(tài)方程”描述系統(tǒng)，從而理論上解決了系統(tǒng)的可控性、可觀測性及許多復雜問題的控制問題。 圖 410 PD 控制（小車位置曲線） 可以看出，由于 PID 控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制擺桿的角度，并不能控制小車的位置，所以小車會往一個方向運動。 圖 49 PID 控制（ 40PK? ， 20IK? ， 10DK ? ） 從上面仿真結果可以看出，系統(tǒng)可以較好的穩(wěn)定，但由于積分因素的影響，穩(wěn)定時間明顯增大。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 19 圖 48 PD 控制（ 40PK? ， 10DK ? ） 從圖 48 可以看出，系統(tǒng)在 秒后達到平衡，但是存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差。為消除系統(tǒng)的振蕩，增加微分控制參數 DK ，令： 0IK? ， 4DK? ，得到圖 47 仿真結果 。 圖 45 P控制仿真結果圖（ 9K?P ） 從圖 45中可以看出，控制曲線不收斂，因此增大控制量，令 40PK? ， 0IK? ， 0DK? ，得到如圖 46 仿真結果 。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 17 PID 控制參數設定及 MATLAB 仿真 對于 PID 控制參數，我們采用以下的方法進行設定。 由 式子 (313)可以得到擺桿角度和小車加速度的傳遞函數： ? ?? ? ? ?22s mlVsI m l s m g l? ??? PID 控制器的傳遞函數為： de nP IDnu m P IDs KsKsKsKKsKsKD IPDIPD ???????2)( 只需調節(jié) PID 控制器的參數，就可以得到滿意的控制效果。 考慮到輸入 0)( ?sr ，結構圖可以很容易地變換成 如圖 43 的系統(tǒng)簡化圖。系統(tǒng)框圖如圖 42 所示 。由于 PID 校正使系統(tǒng)在低頻段相位后移，而在中頻段相位前移，因此又稱它為相位滯后 超前校正。 （ 3）微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調節(jié)時間。 （ 2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。 在控制系統(tǒng)設計和仿真中，也將傳遞函數寫成 ： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 15 sKsKKsE sUsG DIP ???? )( )()( 式中： PK ——比例系數； IK ——積分系數； DK ——微分系數。 圖 41 常規(guī) PID 控制系統(tǒng)圖 PID 控制器是一種線性控制器，它根據給定值 )(tr 與實際輸出值 ()yt 構成控制偏差 )(te ： ( ) ( ) ( )e t r t y t?? 將偏差的比例 (P)、積分 (I)和微分 (D)通過線性組合構成控制量，對被控對象進行控制，故稱 PID 控制器。常規(guī) PID 控制系統(tǒng)原理框圖如圖 41 所示。 grid。 impulse(num,den,t)。 s = p 。 den = [1