【正文】 6 (2022 年云南省 )如圖，在△ ABC 和△ DCB 中， AB = DC， AC = DB， AC 與 DB 交于點(diǎn) M． （ 1）求 證：△ ABC≌△ DCB ； （ 2）過點(diǎn) C 作 CN∥ BD，過點(diǎn) B 作 BN∥ AC， CN 與 BN 交于點(diǎn) N，試判斷線段 BN 與CN 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． B C A D M N 。線段 AB 的垂直平分線交 AB 于 D，交 AC 于 E，連接 BE． （ 1）求證：∠ CBE=36176。 ，當(dāng) AB 與 BC 滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形 ABFG是菱形？證明你的結(jié)論． ， 5 （ 2022 年湖北荊州） 如圖 ， D 是等邊△ ABC 的邊 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)，以 CD 為一邊向上作等邊△ EDC，連接 AE，找出圖中的一組全等三角形，并說明理由． 【答案】 5 （ 2022 湖北荊州年） 把一個(gè)正方形分成面積相等的四個(gè)三角形的方法有很多，除了可以分成能相互全等的四個(gè)三角形外，你還能用三種 不同的 ． ． ． 方法將正方形分成 面積相等的四個(gè)三角形嗎？請(qǐng)分別畫出示意圖。；（ 2） PA=PQ． 4 （ 2022 河池） 如圖 7，在 △ ABC 中， ∠ ACB=2B? ． （ 1）根據(jù)要求作圖： ① 作 ACB? 的平分線交 AB 于 D； ② 過 D 點(diǎn)作 DE⊥ BC，垂足為 E． （ 2）在（ 1）的基礎(chǔ)上寫出一對(duì)全等三角形 和 一對(duì)相似比不為 ． ． ． ． ． ． ． 1． 的相似三角形： △ ≌△ ； △ ∽△ ． 請(qǐng)選擇其中一對(duì)加以證明． （ 2） △ BDE≌△ CDE ； A C B D P Q A C B D P Q A C B D P Q 4 （ 09 湖南懷化） 如圖 9， P 是 ∠ BAC 內(nèi)的一點(diǎn)， P E A B P F A C??， ，垂足分別為點(diǎn)EF， ， AFAE? ．求證：（ 1） PFPE? ； （ 2）點(diǎn) P 在 ∠ BAC 的角平分線上． 【 50、 （ 09 湖北宜昌） 已知：如圖 2，在 Rt△ ABC 和 Rt△ BAD 中， AB 為斜邊， AC=BD， BC，AD 相交于點(diǎn) E． (1) 求證： AE=BE； (2) 若∠ AEC=45176。D 為 AB 邊上一點(diǎn)，求證： （ 1） AC E BC D△ ≌ △ ；（ 2） 2 2 2AD DB DE??． 4 （ 2022 年清遠(yuǎn)）如圖，已知正方形 ABCD ，點(diǎn) E 是 AB 上的一點(diǎn)，連結(jié) CE ，以 CE 為一邊，在 CE 的上方作正方形 CEFG ，連結(jié) DG ． 求證： C BE C DG△ ≌ △ 4 （ 2022 年衢州） 如圖，四邊形 ABCD 是 矩形 ， △ PBC 和 △ QCD 都是 等邊三角形 ，且點(diǎn)P 在矩形上方，點(diǎn) Q 在矩形內(nèi)． 求證 ：（ 1）∠ PBA=∠ PCQ=30176。 得到 D A1 B2C2，請(qǐng)依次作出 △ A1 B1C1和 △ A1 B2C2。 得 A BC A B1 1 1△ ， 交 AC 于點(diǎn) E ， 11AC 分別交AC BC、 于 DF、 兩點(diǎn) ． （ 1）如圖 1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段 1EA 與 FC 有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論 ； （ 2）如圖 2，當(dāng) ? 30? 176。將 ABC△ 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 ? (0?176。 ⑶ 若 CD＝ 2，求四邊形 BCFE的面積。 ， AB＝ 2CD，E、 F分別為 AB、 AD的中點(diǎn)，連結(jié) EF、 EC、 BF、 CF。 ， CD 是 AB 邊上的中線，將 ADC△沿 AC 邊所在的直線折疊，使點(diǎn) D 落在點(diǎn) E 處，得四邊形 ABCE ． 求證： EC AB∥ ． 3 （ 2022東營） 已知正方形 ABCD中， E為 對(duì)角線 BD上一點(diǎn)，過 E點(diǎn)作 EF⊥ BD交 BC于 F，連接 DF， G為 DF 中點(diǎn)，連接 EG， CG． （ 1） 求證： EG=CG； （ 2）將圖①中 △ BEF繞 B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45186。D 為 AB 邊上一點(diǎn)，求證： （ 1） AC E BC D△ ≌ △ ；（ 2） 2 2 2AD DB DE??． 3 （ 2022 桂林百色） 如圖：在等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC，對(duì)角線 AC、 BD 相交于 O． （ 1）圖中共有 對(duì)全等三角形； （ 2）寫出你認(rèn)為全等的一對(duì)三角形，并證明． 3 （ 2022 白銀市） 如圖，△ ACB 和△ ECD 都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ ECD=90176。 2 （ 2022年長沙）如圖 ， EF、 是平行四邊形 ABCD 對(duì)角線 AC 上兩點(diǎn)， BE DF∥ ，求證： AF CE? ． 2（ 2022年莆田） 已知：如圖在 ABCD 中，過對(duì)角線 BD 的 中點(diǎn) O 作直線 EF 分別交 DA的延長線、 AB DC BC、 、 的延長線于點(diǎn) E M N F、 、 、 ． （ 1）觀察圖形并找出一對(duì)全等三角形： △ ________≌ △ ____________，請(qǐng)加以證明； （ 2）在（ 1）中你所找出的一對(duì)全等三角形，其中一個(gè)三角形可由另一個(gè)三角形經(jīng)過怎樣的變換得到？ 2 （ 2022年莆田） （ 1）根據(jù)下列步驟 畫圖 ． ． 并標(biāo)明相應(yīng)的字母 :（直接在圖１中畫圖） ①以已知線段 AB （圖 1）為直徑畫半圓 O ； E B M O D N F C A E B M O D N F C A D C A B E F B D C F A 郜 E A D C B E ②在半圓 O 上取不同于點(diǎn) AB、 的一點(diǎn) C ，連接 AC BC、 ； ③過點(diǎn) O 畫 OD BC∥ 交半圓 O 于點(diǎn) D． （ 2）尺規(guī) 作圖 ． ． ：（保留作圖痕跡，不要求寫作法、證明） 已知： AOB? （圖 2）． 求作： AOB? 的平分線． ③ 作射線 OE 2 （ 2022 年漳州）如圖，在等腰梯形 ABCD 中， E 為底 BC 的中點(diǎn)，連結(jié) AE 、DE ．求證： ABE DC E△ ≌ △ ． 【． 2 （ 2022 年哈爾濱）如圖，在 ⊙ O 中， D、 E 分別為半徑 OA、 OB 上的點(diǎn)，且 AD＝ BE． 點(diǎn) C 為弧 AB 上一點(diǎn)，連接 CD、 CE、 CO， ∠ AOC＝ ∠ BOC． 求證： CD＝ CE． （ 2022 年牡丹江）已知 Rt ABC△ 中， 90AC BC C D? ? ?， ∠ ，為 AB 邊的中點(diǎn)， 90EDF??176。 （ 1）求證： △ ABE≌△ CBF； （ 2）若 ∠ ABE=50186。 ，且2 t a n 2C D AD AB C? ? ?， ，過點(diǎn) D 作 ABDE∥ ，交 BCD? 的平分線于點(diǎn) E，連接 BE． （ 1）求證： BC CD? ； （ 2）將 BCE△ 繞點(diǎn) C，順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。則點(diǎn) P 叫做 ABC△ 的費(fèi)馬點(diǎn) . （ 1）若點(diǎn) P 為銳角 ABC△ 的費(fèi)馬點(diǎn)，且 60ABC PA PC? ? ? ?176。 【形． (2022 年南充 )如圖， ABCD 是正方形，點(diǎn) G 是 BC 上 的任意一點(diǎn)， DE AG⊥ 于 E，BF DE∥ ，交 AG 于 F． 求證： AF BF EF??． (2022 年湖州 )如圖：已知在 ABC△ 中， AB AC? ， D 為 BC 邊 的中點(diǎn)，過點(diǎn) D 作 D E A B D F A C⊥ ， ⊥， 垂足分別為 EF， . （ 1） 求證： BED C FD△ ≌ △ ； （ 2）若 90A??176。 求證：∠ C=∠ A. (2022 年 安順 )如圖，在△ ABC 中， D 是 BC 邊上的一點(diǎn)， E 是 AD 的中點(diǎn)，過 A 點(diǎn)作BC 的平行線交 CE 的延長線于點(diǎn) F，且 AF=BD，連結(jié) BF。 時(shí)， BPBQ的值是 ； （ 2）①如圖 2，當(dāng)四邊形 OABC? ? ? 的頂點(diǎn) B? 落在 y 軸正半軸時(shí)，求 BPBQ的值； ②如圖 3，當(dāng)四邊形 OABC? ? ? 的頂點(diǎn) B? 落在直線 BC 上時(shí)，求 OPB?△ 的面積． （ 3）在四邊形 OABC 旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) 0 180?? ≤ 176。分別以 AB AC，為邊作兩個(gè)等腰直角三角形 ABD 和 ACE ，使 90B A D C A E? ? ? ? 176。 +； A B C C1 A1 B1 A B C D A D F C Ｂ Ｏ Ｅ A C E B D ②以 E 為圓心、 BE 為半徑的圓與以 F 為圓心、 CF 為半徑的圓外切； ③設(shè) OD m AE AF n? ? ?， ，則 AEFS mn△ ； ④ EF 不能成為 ABC△ 的中位線． 其中正確的結(jié)論是 _____________．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序