2000年第17屆物理競(jìng)賽復(fù)賽試題(參考版)
2025-01-13 13:16本頁面
【正文】 如果利用已知其折射率的液體代替空氣，結(jié)果正確，照樣給分。（ 8）式、（ 9）式各 6 分，求得（ 11）式、（ 12）式再各給 3 分 2. 7 分。 六、（ 25 分） 普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯 A 和包層 B 組成， B 的折射率小于 A 的折射率，光纖的端面和圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在很長的光纖中傳播時(shí)，在纖芯 A 和包層 B 的分界面上發(fā)生多次全反射 ．現(xiàn)在利用普通光纖測(cè)量流體 F 的折射率．實(shí)驗(yàn)方法如下：讓光纖的一端（出射端）浸在流體 F中．令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會(huì)聚光纖入射端面的中心 O ，經(jīng)端面折射進(jìn)入光纖，在光纖中傳播．由點(diǎn) O 出發(fā)的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸的夾角為 0? ，如圖 復(fù) 1761 所示．最后光從另一端面出射進(jìn)入流體 F ．在距出射端面 1h 處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏 D ，在 D 上出現(xiàn)一圓形光斑，測(cè)出其直徑為 1d ，然后移動(dòng)光屏 D 至距光纖出射端面 2h 處， 再測(cè)出圓形光斑的直徑 2d ，如圖 復(fù) 1762 所示． 1．若已知 A 和 B 的折射率分別為 An 與 Bn ，求被測(cè)流體 F 的折射率 Fn 的表達(dá)式． 2．若 An 、 Bn 和 0? 均為未知量，如何通過進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)以測(cè)出 Fn 的值 ? 解： 1．由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的 O 點(diǎn)出發(fā)，在光纖中傳播的光線都與軸相交，位于通過軸的縱剖面內(nèi)，圖復(fù)解 1761 為縱剖面內(nèi)的光路圖，設(shè)由 O 點(diǎn)發(fā)出的與軸的夾角為 ? 的光線，射至 A 、 B 分界面的入射角為 i ，反射角也為 i ．該光線在光纖中多次反射時(shí)的入射角均為 i ，射至出射端面時(shí)的入射角為 ? ．若該光線折射后的折射角為 ? ，則由幾何關(guān)系和折射定律可得 90i ?? ? ? （ 1） sin sinFAnn??? （ 2） 當(dāng) i 大于全反射臨界角 Ci 時(shí)將發(fā)生全 反射，沒有光能損失，相應(yīng)的光線將以不變的光強(qiáng)射向出射端面，而 Cii? 的光線則因在發(fā)生反射時(shí)有部分光線通過折射進(jìn)入 B ，反射光強(qiáng)隨著反射次數(shù)的增大而越來越弱，以致在未到達(dá)出射端面之前就已經(jīng)衰減為零了．因而能射向出射端面的光線的 i 的數(shù)值一定大于或等于 Ci ， Ci 的值由下式?jīng)Q定 sinACBn i n? （ 3） 與 Ci 對(duì)應(yīng)的 ? 值為 90CCi? ? ?? （ 4） 當(dāng) 0 C??? 時(shí)，即 220sin sin c o s 1 sin 1 ( / )BC C C Ai i n n??? ? ? ? ? ?時(shí)， 或220sinA BAnnn? ? ?時(shí)，由 O 發(fā)出的光束中，只有 C??? 的光線才滿足 Cii? 的條件，才能射向端面，此時(shí)出射端面處 ? 的最大值為 m ax 90CCi??? ? ?? （ 5） 若 0 C??? ，即 220sinA BAnnn? ? ?時(shí)，則由 O 發(fā)出的光線都能滿足 Cii? 的條件，因而都能射向端面，此時(shí)出射端面處 ? 的最大值為 max 0??? （ 6） 端面處入射角 ? 最大時(shí)，折射角 ? 也達(dá)最大值，設(shè)為 max? ，由（ 2）式可知 m a x m a xsi n si nF Ann??? （ 7） 由（ 6）、（ 7）式可得，當(dāng) 0 C??? 時(shí) 0maxsinsinAF nn ??? （ 8） 由（ 3）至（ 7）式可得，當(dāng) 0 C??? 時(shí) 22m a x m a xc o ss in s inACF BAnnin n???? ? （ 9） max? 的數(shù)值可由圖復(fù)解 1762 上的幾何關(guān)系求得 ? ?21m a x 2 22 1 2 1( ) / 2s in ( ) / 2 ( )ddd d h h? ?? ? ? ? （ 10） 于是 Fn 的表達(dá)式應(yīng)為 ? ? 2 22 1 2 10 21( ) / 2 ( )s in ( ) / 2FAd d h hnn dd? ? ? ?? ? （ 0 Caa? ） （ 11） ? ? 2 22 1 2 12221( ) / 2 ( )( ) / 2F BA d d h hnn ddn ? ? ?? ?? （ 0 Caa? ） （ 12） 2. 可將輸出端介質(zhì)改為空氣，光源保持不變，按同樣手續(xù)再做一次測(cè)量，可測(cè)得 1h? 、 2h? 、1d? 、 2d? ，這里打撇的量與前面未打撇的量意義相同．已知空氣的折射率等于 1，故有 當(dāng) 0 Caa? 時(shí) 2 22 1 2 1021( ) / 2 ( )1 sin( ) / 2Ad d h hndd???? ? ? ?? ? ???? ??? （ 13） 當(dāng) 0 Caa? 時(shí) 2 22 1 2 12221( ) / 2 ( )1( ) / 2BAd d h hnddn??? ? ? ?? ? ???? ???? （ 14） 將（ 11）、（ 12）兩式分別與（ 13）、（ 14）相除，均得 ? ? 2 22 1 2 121221 22 1 2 1( ) / 2 ( )( ) / 2 ( )Fd d h hddndd d d h h?? ? ? ???? ??? ? ? ?? ? ??? （ 15） 這結(jié)果適用于 0? 為任何值的情況。39。 si n si n( )x A A t? ? ?? ? ? ? （ 16 ） 帶電質(zhì)點(diǎn)在 x 方向的合位移 39。 si n( )x b A t??? ? ?．在本題中， 0t? 時(shí)刻， x 應(yīng)為零，故前一表示式不符合題意．后一表示式中， b 應(yīng)取的值為 0sinbA??? ，故有 0039。 sin( )x A t????，亦可能是 039。x 具有如下的形式 00c o s s in ( )2A t A t?? ? ? ???? ? ? ????? 它可能是 039。x Dt?? （ 15 ） 由沿 x 方向的簡諧振動(dòng)速度 0cos( )At? ? ?? 可知，沿 x 方向振動(dòng)位移的振幅等于速度的最大值與角頻 率的比值（參看圖復(fù)解 1753），即等于 A ．由參考圓方法可知，沿 x 方向的振動(dòng)的位移 39。y 軸上的投影即為（ 9 ）式所示的簡諧振動(dòng)，將 39。y 軸的夾角等于（ 9 ）式中的常量 0? ，則在任意時(shí)刻 t ， 1O 與 M 的連線與 39。39。 cos( )y A t???? （ 9 ） 或 039。y 方向的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率 2 15 .0 ra d sqBm?
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